[논문 리뷰] Approximation Algorithms for Max-Min Share Allocations of Indivisible Chores and Goods

Haris Aziz, Gerhard Rauchecker외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 05.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분할 불가능한 일들(음의 효용 항목)에 대한 최대-최소 공정성(MmS)을 소개하며, MmS 할당이 존재하지 않을 수 있고, 이를 계산하는 것은 강한 NP-난이도임을 증명한다. 논문은 일들에 대한 2-근사 알고리즘을 제안하고, 항상 존재하며 가능한 한 최선의 MmS 근사치를 보장하는 새로운 개념인 최적 MmS를 도입한다. 또한, 에이전트 수가 고정된 경우, 병렬 기계 스케줄링과의 연결을 통해 최적 MmS에 대한 PTAS를 제공한다.

ABSTRACT

We consider Max-min Share (MmS) allocations of items both in the case where items are goods (positive utility) and when they are chores (negative utility). We show that fair allocations of goods and chores have some fundamental connections but differences as well. We prove that like in the case for goods, an MmS allocation does not need to exist for chores and computing an MmS allocation - if it exists - is strongly NP-hard. In view of these non-existence and complexity results, we present a polynomial-time 2-approximation algorithm for MmS fairness for chores. We then introduce a new fairness concept called optimal MmS that represents the best possible allocation in terms of MmS that is guaranteed to exist. For both goods and chores, we use connections to parallel machine scheduling to give (1) an exponential-time exact algorithm and (2) a polynomial-time approximation scheme for computing an optimal MmS allocation when the number of agents is fixed.

연구 동기 및 목표

• 분할 불가능한 일들에 대한 최대-최소 공정성(MmS) 할당의 존재성과 계산 가능성에 대해 조사한다. 이는 이전에 연구되지 않은 분야이다.
• 상품과 일들에 대한 MmS 할당 간의 기본적 연관성과 차이점을 규명한다. 특히 효용 부정의 경우를 중심으로 분석한다.
• 일들에 대한 MmS 할당의 존재성 부족과 계산 난이도 문제를 해결하기 위해, 새로운 공정성 개념인 최적 MmS를 도입한다.
• 최적 MmS 공정성에 대한 효율적인 근사 알고리즘을 개발한다. 이는 일들에 대한 2-근사 알고리즘과 고정된 에이전트 수에 대한 PTAS를 포함한다.
• 병렬 기계 스케줄링과의 연결을 활용하여, 상품과 일들에 모두 적용 가능한 정확한 알고리즘과 근사 알고리즘을 유도한다.

제안 방법

• 항상 존재하며, MmS 할당이 존재할 경우 MmS 공정성을 포함하는 가능한 한 최선의 MmS 근사치를 보장하는 최적 MmS의 개념을 도입한다.
• 선형 시간 내에 작동하는 라운드로빈 알고리즘을 제안하여, 일 할당에서 MmS 공정성에 대해 2-근사치를 달성하며, 이 근사치의 상한이 날카로운 것으로 밝혀진다.
• 3-분할 문제와 정수 분할 문제로부터의 감소를 통해, 상품과 일들에 대한 MmS 할당을 계산하는 것이 강한 NP-난이도임을 증명한다.
• MmS 공정성과 병렬 기계 스케줄링 간의 연결을 확립하여, 최적 MmS에 대한 지수 시간 정확 알고리즘을 설계한다.
• 기존에 잘 알려진 스케줄링 알고리즘을 적용하여, 에이전트 수가 고정된 경우 최적 MmS에 대한 다항시간 근사계량기법(PTAS)을 유도한다.
• 근사 비율 분석과 PTAS의 정확성 증명을 위해, 정규화된 효용 변환 $ u_i'(S_i) = u_i(S_i) / MmS_{u_i}^N(\text{M}) $을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 불가능한 일들에 대한 MmS 할당은 항상 존재하는가? 만약 그렇지 않다면, 가장 좋은 대체 공정성 보장은 무엇인가?
• RQ2 상품에 대한 최대-최소 공정성 개념을 일들로 의미 있게 확장할 수 있는가? 어떤 근본적인 차이점이 발생하는가?
• RQ3 일들에 대한 MmS 할당을 계산하는 데 있어 계산 복잡도는 무엇이며, 효율적인 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 항상 달성 가능한 공정성 개념을 정의할 수 있으며, MmS 할당이 존재할 경우 MmS 공정성을 포함하는가?
• RQ5 에이전트 수가 고정된 경우, 스케줄링 이론을 활용하여 최적 MmS 공정성에 대한 PTAS를 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 일들에 대한 MmS 할당은 항상 존재하지 않으며, 존재할 경우 이를 계산하는 것은 강한 NP-난이도이다.
• 선형 시간 라운드로빈 알고리즘이 일 할당에서 MmS 공정성에 대해 2-근사치를 달성하며, 이 근사치의 상한은 날카롭다.
• 최적 MmS 개념이 공정성 보장으로서 도입되었으며, 항상 존재하며, MmS 할당이 존재할 경우 MmS 공정성을 포함한다.
• 상품과 일들 모두에 대해, 병렬 기계 스케줄링 이론을 활용하여 최적 MmS에 대한 지수 시간 정확 알고리즘을 도출하였다.
• 에이전트 수가 고정된 경우, 최적 MmS에 대한 다항시간 근사계량기법(PTAS)을 개발하였으며, 이는 MmS 공정성에 대해 처음으로 얻어진 결과이다.
• PTAS는 임의의 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 근사 비율 $ (1 - \varepsilon) $ 을 달성하며, 이는 이전의 상수 요인 근사치보다 크게 향상된 결과이다.