[논문 리뷰] Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition

Chandra Chekuri, Alina Ene|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 하위모듈라 다자간 분할(Submodular Multiway Partition, Sub-MP) 문제를 위한 러브라시 확장(Lovász extension) 기반의 볼록 프ogramming 근사법을 제안하며, 일반 하위모듈라 함수에 대해 2-근사, 대칭 하위모듈라 함수에 대해 (1.5 - 1/k)-근사 성능을 달성한다. 이는 이전의 (k-1)-근사 및 2(1-1/k)-근사 bound를 향상시킨다. 이 방법은 그래프 및 초그래프 다자간 분할 문제에 대한 기존 근사법을 일반화하고 개선한다.

ABSTRACT

We study algorithms for the Submodular Multiway Partition problem (SubMP). An instance of SubMP consists of a finite ground set $V$, a subset of $k$ elements $S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$ called terminals, and a non-negative submodular set function $f:2^V ightarrow \mathbb{R}_+$ on $V$ provided as a value oracle. The goal is to partition $V$ into $k$ sets $A_1,...,A_k$ such that for $1 \le i \le k$, $s_i \in A_i$ and $\sum_{i=1}^k f(A_i)$ is minimized. SubMP generalizes some well-known problems such as the Multiway Cut problem in graphs and hypergraphs, and the Node-weighed Multiway Cut problem in graphs. SubMP for arbitrarysubmodular functions (instead of just symmetric functions) was considered by Zhao, Nagamochi and Ibaraki \cite{ZhaoNI05}. Previous algorithms were based on greedy splitting and divide and conquer strategies. In very recent work \cite{ChekuriE11} we proposed a convex-programming relaxation for SubMP based on the Lovász-extension of a submodular function and showed its applicability for some special cases. In this paper we obtain the following results for arbitrary submodular functions via this relaxation. (i) A 2-approximation for SubMP. This improves the $(k-1)$-approximation from \cite{ZhaoNI05} and (ii) A $(1.5-1/k)$-approximation for SubMP when $f$ is symmetric. This improves the $2(1-1/k)$-approximation from \cite{Queyranne99,ZhaoNI05}.

연구 동기 및 목표

• 하위모듈라 함수의 러브라시 확장을 사용하여 Sub-MP 문제를 위한 볼록 프로그래밍 근사법을 개발한다.
• 일반 Sub-MP 문제에 대해 (k-1)-근사보다 향상된 성능를 확보하고, 대칭 Sub-MP 문제에 대해 2(1-1/k)-근사보다 향상된 성능를 확보한다.
• 기존 그래프 및 초그래프 다자간 분할 문제 근사법을 일반화하고 개선한다.
• 제안된 근사법의 정수화 갭(integrality gap)을 분석하고, 더 날카운 approximation bound를 확립한다.

제안 방법

• 하위모듈라 함수의 러브라시 확장을 사용하여 Sub-MP 문제의 볼록 근사법을 수립한다.
• 분할 변수를 단위 단체 내의 벡터로 표현하는 연속적 근사법을 정의한다.
• 하위모듈라 함수의 러브라시 확장이 볼록이면서 조각별 선형인 성질을 활용한다.
• 목적 함수의 적분 표현을 임계 집합 위에서 유도하여 근사법을 분석한다.
• 유연한 해를 기반으로 한 임계값 기반 라운딩 기법을 적용하여 이산적 분할을 복원한다.
• 하위모듈라성과 체인 법칙을 이용하여 연속적 근사 함수의 적분과 이산 목적 함수 간의 관계를 분석함으로써 근사 보장을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 러브라시 확장 기반 볼록 프로그래밍 근사법이 그레디 분할에서 얻는 (k-1)-근사보다 Sub-MP 문제에 대해 더 나은 근사 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 근사법이 대칭 Sub-MP 문제에 대해 (1.5 - 1/k)-근사 성능을 달성하여 이전의 2(1-1/k) bound를 향상시키는가?
• RQ3 대칭 Sub-MP 문제에 대해 근사법의 정수화 갭이 엄밀히 1.5 - 1/k 미만인가?
• RQ4 이 근사법은 |S| ≥ k개의 종단점이 있는 더 일반적인 k-way-Sub-MP 문제로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 근사법은 그래프 다자간 컷 문제의 CKR 근사법이 기반하는 기하학적 구조를 포괄하는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 음이 아닌 하위모듈라 함수를 가진 Sub-MP 문제에 대해 2-근사 성능을 달성하며, 이는 이전의 (k-1)-근사 성능을 향상시킨다.
• 대칭 하위모듈라 함수에 대해서는 (1.5 - 1/k)-근사 성능을 달성하며, 이는 이전 연구에서의 2(1-1/k) bound를 향상시킨다.
• 제안된 볼록 근사법은 그래프 다자간 컷 문제의 CKR 근사법을 일반화하며, 특수 케이스로서 이를 복원한다.
• 일반 Sub-MP 문제에 대해 근사법의 정수화 갭은 2 이하로 제한되며, 대칭 Sub-MP 문제에 대해선 (1.5 - 1/k) 이하로 제한된다.
• 분석은 하위모듈라 함수의 적분 표현과 임계값 기반 기법을 활용하여 연속적 근사와 이산적 해 간의 관계를 규명한다.
• 결과는 컷 함수의 하위모듈라성은 상수 요소 근사의 핵심 구조적 성질이며, 그래프 기반 기하학적 구조는 아님을 시사한다.