[논문 리뷰] Approximation Algorithms for the Incremental Knapsack Problem via Disjunctive Programming

Daniel Bienstock, Jay Sethuraman외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 18.

Optimization and Search Problems참고 문헌 10인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간이 지남에 따라 용량이 증가하는 증분 배낭 문제 (IK)에 대해 일정 요인 근사 알고리즘을 제안하며, 항목 선택을 다루기 위해 분리 프로그래밍을 사용한다. 또한 시간에 따라 변하지 않는 경우 (IIK)에 대해 T = O(√log N)일 때 PTAS를 제공하며, 최고의 가치를 가진 항목을 추측하고 다면체 이론적 근사화 및 유한한 구성 수의 열거를 통해 고정된 ε에 대해 다항 시간 내에 (1−ε)-근사해를 달성한다.

ABSTRACT

In the incremental knapsack problem ($\IK$), we are given a knapsack whose capacity grows weakly as a function of time. There is a time horizon of $T$ periods and the capacity of the knapsack is $B_t$ in period $t$ for $t = 1, \ldots, T$. We are also given a set $S$ of $N$ items to be placed in the knapsack. Item $i$ has a value of $v_i$ and a weight of $w_i$ that is independent of the time period. At any time period $t$, the sum of the weights of the items in the knapsack cannot exceed the knapsack capacity $B_t$. Moreover, once an item is placed in the knapsack, it cannot be removed from the knapsack at a later time period. We seek to maximize the sum of (discounted) knapsack values over time subject to the capacity constraints. We first give a constant factor approximation algorithm for $\IK$, under mild restrictions on the growth rate of $B_t$ (the constant factor depends on the growth rate). We then give a PTAS for $\IIK$, the special case of $\IK$ with no discounting, when $T = O(\sqrt{\log N})$.

연구 동기 및 목표

• 배낭 용량이 시간이 지남에 따라 약하게 증가하는 증분 배낭 문제 (IK)에 대해 다항 시간 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 시간에 따라 변하지 않는 증분 배낭 문제 (IIK)에 대해 시간 범위 T가 O(√log N)일 때 PTAS를 제공하는 것.
• 이전의 증분 부분합 문제 연구를 일반화하여 임의의 항목 가치 및 무게로 확장하는 것.
• 비가역적 항목 배치의 도전 과제를 새로운 분리 프로그래밍 프레임워크를 통해 동적 용량 환경에서 해결하는 것.
• 구성 기반 선형계획법 근사화 및 반올림을 도입하여 증분 조합 최적화 문제의 근사 알고리즘에 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 최적 해에서 가장 가치 있는 항목 h를 추측한 후, v_h 이하의 가치를 가진 항목들로 이루어진 S^h에 국한하여 고려한다.
• 항목 가치를 반올림하여 수정된 인스턴스를 생성하고, J = ⌈1/ε⌉일 때 이산 변수 σ^k_t ∈ {0, 1, ..., J}를 통해 유한한 구성 수의 열거를 가능하게 한다.
• 시간에 걸쳐 타당한 항목 할당 구성에 대해 포괄하는 다면체 Q^{σ,h}를 정의하며, 항목 제거가 금지되는 단조성 조건과 용량 제약 조건을 강제한다.
• Q^{σ,h} 위에서 선형계획법 근사를 적용하여 분수 해를 계산한 후, 반올림을 통해 정수 타당 해를 확보한다.
• 모든 추측 h와 구성 σ에 대해 타당한 다면체 Q^{σ,h}의 합집합을 취하여 분리 프로그램을 구성함으로써 최적 해 공간을 모두 커버한다.
• 각 Q^{σ,h}에 대해 다항 시간 내에 (1−ε)-근사해를 계산할 수 있음을 증명하며, 이는 전체 문제에 대해 (1−ε)^2-근사해를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 용량 증가율 B_t에 대한 제한적인 가정 없이 증분 배낭 문제 (IK)에 대해 일정 요인 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 시간 범위 T가 임의일 때 시간에 따라 변하지 않는 증분 배낭 문제 (IIK)에 대해 PTAS가 존재하는가?
• RQ3 이 방법은 배낭을 초월한 다른 증분 조합 최적화 문제로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 비가역적 항목 선택이 있는 동적 배낭 환경에서 근사 품질과 계산 복잡도 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?
• RQ5 필요한 LP의 수는 ε과 T에 따라 어떻게 변화하며, 어떤 조건에서 다항 시간에 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 B_t의 증가율에 대해 약간의 가정을 두고 IK에 대해 일정 요인 근사 알고리즘을 제시하며, 근사 요인이 증가율에 따라 달라진다.
• 시간에 따라 변하지 않는 경우 (IIK)에 대해 T = O(√log N)일 때 PTAS를 달성하며, 고정된 ε에 대해 필요한 LP 수는 N에 대해 다항식이다.
• 분리 절차에서 고려되는 다면체 Q^{σ,h}의 수는 O(N(1/ε + T)^{O(log(T/ε)/ε²)})로 유한하며, T = O(√log N)일 때 N에 대해 다항식이 된다.
• 각 타당한 다면체 Q^{σ,h}에 대해 다항 시간 내에 (1−ε)-근사해를 계산할 수 있으며, 이는 전체 해가 최적값의 (1−ε)^2 이내에 있음을 보장한다.
• 이 방법은 최적 해가 다면체 Q^{σ,h}의 합집합 내에 포함됨을 보장하여, 열거와 반올림을 통한 타당한 근사해를 확보한다.
• 이전의 Hartline과 Sharp의 연구를 개선하여 일반적인 가치 및 무게로 확장하고 더 일반적인 근사 프레임워크를 제공한다.