[논문 리뷰] Approximation algorithms for two-machine flow-shop scheduling with a conflict graph

Yinhui Cai, Guangting Chen외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 07.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 갈림길 그래프로 모델링된 작업 간 충돌이 있는 이중 머신 플로우숍 스케줄링을 위한 근사 알고리즘을 제시한다. 단위 작업의 경우, 경로 커버 문제의 다항식 시간 해법이 가능한 변종을 기반으로 4/3-근사 알고리즘을 제안한다. 충돌 그래프가 두 개의 서로소 클리크의 합집합인 경우, 작업 집약과 조한슨의 규칙을 활용한 3/2-근사 알고리즘을 제안하며, 두 경우 모두 엄밀한 성능 보장을 갖는다.

ABSTRACT

Path cover is a well-known intractable problem that finds a minimum number of vertex disjoint paths in a given graph to cover all the vertices. We show that a variant, where the objective function is not the number of paths but the number of length-$0$ paths (that is, isolated vertices), turns out to be polynomial-time solvable. We further show that another variant, where the objective function is the total number of length-$0$ and length-$1$ paths, is also polynomial-time solvable. Both variants find applications in approximating the two-machine flow-shop scheduling problem in which job processing has constraints that are formulated as a conflict graph. For the unit jobs, we present a $4/3$-approximation algorithm for the scheduling problem with an arbitrary conflict graph, based on the exact algorithm for the variants of the path cover problem. For the arbitrary jobs while the conflict graph is the union of two disjoint cliques, that is, all the jobs can be partitioned into two groups such that the jobs in a group are pairwise conflicting, we present a simple $3/2$-approximation algorithm.

연구 동기 및 목표

• 작업 간 충돌 제약 조건이 있는 이중 머신 플로우숍 스케줄링을 위한 효율적인 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 쌍별 충돌으로 인해 작업이 동시에 처리될 수 없을 때 제작시간을 최소화하는 데 도전하는 것.
• 충돌 그래프가 두 개의 서로소 클리크의 합집합이거나 단위 길이 작업으로 구성된 특수 케이스를 탐색하는 것.
• 새로운 그래프 이론적 기법을 통해 이러한 특수 케이스에 대해 엄밀한 근사 비율을 확립하는 것.
• 해결이 불가능한 경로 커버 변종과 실용적인 스케줄링 근사 알고리즘 사이의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 고립된 정점(0-경로)과 간선(1-경로)의 수를 최소화하는 것을 목표로 하는 경로 커버 문제의 변종을 도입하며, 이는 다항식 시간 내에 해결 가능함을 보여준다.
• 이 경로 커버 변종의 정확한 해를 이용해 임의의 충돌 그래프를 가진 단위 작업에 대한 4/3-근사 알고리즘을 설계한다.
• 충돌 그래프가 두 개의 서로소 클리크의 합집합인 경우, 충돌 그룹에 따라 작업을 두 개의 슈퍼-작업으로 집약한다.
• 집약된 두 작업에 대해 조한슨 알고리즘을 적용하여 3/2-근사 보장을 갖는 스케줄을 생성한다.
• 알고리즘의 제작시간과 최적 제작시간을 비교함으로써 성능 비율을 증명하며, 모든 가능한 처리 시간 순서를 고려한다.
• 상대적인 처리 시간에 기반한 조합적 분석과 케이스 분류를 통해 근사 한계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0-경로와 1-경로의 수를 최소화하는 방식으로 경로 커버 문제를 수정할 수 있는가? 이 경우 다항식 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ2 임의의 충돌 그래프를 가진 단위 작업이 있는 이중 머신 플로우숍 스케줄링에 대해 가능한 최선의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 충돌 그래프가 두 개의 서로소 클리크의 합집합인 경우 더 나은 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ4 단위 작업에 대한 4/3-근사 비율은 渐近적으로 엄밀한가?
• RQ5 집약된 작업 스케줄링 접근 방식에서의 공백 시간을 줄여 근사 비율을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 고립된 정점(0-경로)의 수를 최소화하는 경로 커버 문제의 변종은 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 0-경로와 1-경로(고립된 정점과 간선)의 총 수를 최소화하는 변종도 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 임의의 충돌 그래프를 가진 단위 작업에 대한 4/3-근사 알고리즘이 확립되었다.
• 단위 작업에 대한 4/3-근사 비율은 渐近적으로 엄밀하므로, 표준 복잡도 가정 하에 더 나은 비율은 불가능하다.
• 두 개의 서로소 클리크의 합집합인 충돌 그래프를 가진 경우에 대해 3/2-근사 알고리즘을 제시하였다.
• 3/2-근사 알고리즘은 충돌 그래프의 간선 수 m에 대해 O(m) 시간 내에 실행되며, 작업 집약과 조한슨의 규칙에 기반한다.