[논문 리뷰] Approximation and convergence of formal CR-mappings

Francine Meylan, Nordine Mir외 1명|ArXiv.org|2002. 05. 14.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복소 공간 내의 최소 실해석적 CR다양체와 실대수집합 사이의 형식적 헬름홀로픽 사상이 임의의 유한 차수까지 수렴하는 헬름홀로픽 사상에 의해 근사 가능하다는 것을 증명한다. 핵심 결과는 수렴하지 않는 형식적 사상은 반드시 대상의 무한 D’Angelo 유형을 갖는 점들로 사상해야 하며, 이는 대상에 기저점을 통과하는 양의 차원 복소다양체가 존재하지 않는 한 수렴함을 의미한다.

ABSTRACT

Let $M\subset C^N$ be a minimal real-analytic CR-submanifold and $M'\subset C^{N'}$ a real-algebraic subset through points $p\in M$ and $p'\in M'$. We show that that any formal (holomorphic) mapping $f\colon (C^N,p) o (C^{N'},p')$, sending $M$ into $M'$, can be approximated up to any given order at $p$ by a convergent map sending $M$ into $M'$. If $M$ is furthermore generic, we also show that any such map $f$, that is not convergent, must send (in an appropriate sense) $M$ into the set $E'\subset M'$ of points of D'Angelo infinite type. Therefore, if $M'$ does not contain any nontrivial complex-analytic subvariety through $p'$, any formal map $f$ as above is necessarily convergent.

연구 동기 및 목표

• 실해석적 CR다양체와 실대수집합 사이의 형식적 헬름홀로픽 사상이 수렴하는 헬름홀로픽 사상에 의해 근사 가능한지 규명하는 것.
• 형식적 사상이 수렴해야 하는 조건, 특히 대상 집합의 기하학적 성질과의 관계를 특성화하는 것.
• 아르틴의 근사 정리가 완전 교차가 아니거나 수렴하는 방정식으로 정의되지 않은 경우에도 CR기하학의 맥락으로 확장되는지 확인하는 것.
• 대상 다양체 내에서 무한 D’Angelo 유형을 갖는 점들의 집합이 형식적 CR-사상의 수렴성에 대한 유일한 장애물임을 명확히 하는 것.
• 이전 연구에서 요구하던 사상의 유한성 또는 가역성 조건 없이 형식적 CR-사상의 수렴성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 비일반적인 최소 CR다양체의 내재적 복소화를 이용하여 비일반적인 경우를 일반적인 경우로 환원하는 것.
• 실해석적 및 실대수집합 사이의 형식적 멱급수 사상에 대해 아르틴의 근사 정리를 CR기하학적 맥락에 적응하여 적용하는 것.
• 주어진 형식적 사상 $ f $에 대해, $ f^k $가 $ f $와 차수 $ k $까지 일치하고 $ M $을 $ M' $으로 보내는 수렴하는 헬름홀로픽 근사자 $ f^k $의 수열을 구성하는 것.
• 대상 $ M' $ 내에서 양의 차원의 기약 복소해석적 부분다양체가 통과하는 점들의 집합 $ \mathcal{E}' \subset M' $을 정의하고, 이 집합이 수렴하지 않는 데 중요한 기준이 되는지 분석하는 것.
• 해석 함수의 국소 함수의 환의 분수체를 포함하는 초월성 기반의 추론을 통해, 사상이 $ \mathcal{E}' $에 포함되어 있지 않다면 모순이 발생함을 도출하는 것.
• 최소성과 일반성 조건을 활용하여, 사상의 그래프가 곱공간 내에서의 멱급수 전개의 수렴성과 구조를 이용한 모순 증명을 통한 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 실해석적 CR다양체에서 실대수집합으로의 임의의 형식적 헬름홀로픽 사상은 그 사상이 대상 집합으로의 사상 성질을 유지하는 수렴하는 헬름홀로픽 사상에 의해 유한 차수까지 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 형식적 CR-사상이 수렴하지 못하는 데 기여하는 기하적 장애물은 무엇이며, 이를 정확히 특성화할 수 있는가?
• RQ3 대상 집합 $ M' $에 대해 어떤 조건이 있을 경우 모든 형식적 CR-사상이 반드시 수렴하는가?
• RQ4 이전 문헌에서 일반적으로 가정된 바와 같이 사상의 가역성 또는 유한성 조건 없이 형식적 CR-사상의 수렴성이 독립적인가?
• RQ5 대상 $ M' $ 내에서 무한 D’Angelo 유형을 갖는 점들의 집합이 수렴하지 않는 형식적 CR-사상의 유일한 가능한 상사상 영역임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 최소 실해석적 CR다양체 $ M \subset \mathbb{C}^N $를 실대수집합 $ M' \subset \mathbb{C}^{N'} $로 보내는 임의의 형식적 헬름홀로픽 사상 $ f: (\mathbb{C}^N, p) \to (\mathbb{C}^{N'}, p') $ 는 임의의 유한 차수 $ k $까지, $ f^k $가 $ f $와 차수 $ k $까지 일치하고 $ M $을 $ M' $으로 보내는 수렴하는 헬름홀로픽 사상 $ f^k $에 의해 근사 가능하다.
• 만약 $ M $이 일반적이라면, 수렴하지 않는 모든 형식적 사상 $ f $는 $ \mathcal{E}' \subset M' $로 사상해야 하며, 이는 $ M' $ 내에서 양의 차원의 기약 복소해석적 부분다양체가 통과하는 점들의 집합으로 정의된다.
• 최소 실해석적 일반적 다양체에서 $ M' $으로의 모든 형식적 CR-사상은 $ M' $이 $ p' $을 통과하는 양의 차원의 기약 복소해석적 부분다양체를 포함하지 않을 때에만 수렴한다.
• 이 결과는 사상 $ f $가 가역적이거나 유한하거나 심지어 상수 함수가 아님을 가정하지 않아도 성립하며, 이는 이전 연구에서 요구하던 이러한 가정을 일반화한 것이다.
• 증명은 해석 함수의 국소 함수의 환의 분수체의 초월성 차수를 활용한 모순 추론에 기반하며, 수렴하지 않으면 상사상이 반드시 $ \mathcal{E}' $에 포함되어 있음을 보여준다.
• 근사자 $ f^k $의 구성은 비일반적인 경우를 복소화를 통해 일반적인 경우로 환원하고, 타일러 다항식을 사용하여 형식적 사상과 차수 $ k $까지 일치시키는 방식으로 이루어진다.