[논문 리뷰] Approximation and Parameterized Complexity of Minimax Approval Voting

Marek Cygan, Łukasz Kowalik외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 26.

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한 줄 요약

이 논문은 Minimax Approval Voting의 파arameterized 복잡도 한계를 엄밀히 규명하여, Exponential Time Hypothesis(ETH) 하에서 최고의 알고리즘이 본질적으로 최적임을 증명한다. 이는 시간 복잡도 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 에서 작동하는 파arameterized 근사화 계획을 제안하고, Closest String에 대해 알려진 가장 빠른 PTAS에 거의 근접하는 거의 최적의 실행 시간을 갖는 새로운 랜덤화된 다항시간 근사화 계획을 제시한다.

ABSTRACT

We present three results on the complexity of Minimax Approval Voting. First, we study Minimax Approval Voting parameterized by the Hamming distance $d$ from the solution to the votes. We show Minimax Approval Voting admits no algorithm running in time $\mathcal{O}^\star(2^{o(d\log d)})$, unless the Exponential Time Hypothesis (ETH) fails. This means that the $\mathcal{O}^\star(d^{2d})$ algorithm of Misra et al. [AAMAS 2015] is essentially optimal. Motivated by this, we then show a parameterized approximation scheme, running in time $\mathcal{O}^\star(\left({3}/ε ight)^{2d})$, which is essentially tight assuming ETH. Finally, we get a new polynomial-time randomized approximation scheme for Minimax Approval Voting, which runs in time $n^{\mathcal{O}(1/ε^2 \cdot \log(1/ε))} \cdot \mathrm{poly}(m)$, almost matching the running time of the fastest known PTAS for Closest String due to Ma and Sun [SIAM J. Comp. 2009].

연구 동기 및 목표

• 해당 솔루션으로부터 투표들까지의 해밍 거리 $d$ 를 매개변수로 삼을 때, Minimax Approval Voting의 파arameterized 복잡도를 이해하기 위해.
• 이 설정에서 파arameterized 알고리즘의 알려진 상한과 하한 사이의 격차를 메우기 위해.
• 근사율이 $ (1+\epsilon) $ 인 빠른 랜덤화된 다항시간 근사화 계획(PTAS)을 개발하기 위해.
• 제안된 PTAS를 결정론적으로 변환하고, Minimax Approval Voting 및 Closest String과 같은 유사 문제에 대해 기존 PTAS의 실행 시간을 향상시키는 것이 가능한지 탐색하기 위해.

제안 방법

• Exponential Time Hypothesis(ETH)가 성립하지 않는 한, Minimax Approval Voting을 시간 복잡도 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ 에서 해결할 수 없음을 증명하여 엄밀한 하한을 확립한다.
• 시간 복잡도 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 에서 작동하는 파arameterized 근사화 계획(PAS)을 설계하여, ETH 하에서 본질적으로 최적임을 입증한다.
• Closest String에 대해 알려진 가장 빠른 PTAS에 거의 근접하는 실행 시간을 갖는 랜덤화된 PTAS를 제안한다: $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$.
• 선형계획법 해의 랜덤 라운딩을 사용하고, 농도 불확실성 불등식(예: Chernoff bounds)을 적용하여 기대값에서의 이격 확률을 제한한다.
• 작은 $d$ 에 대해서는 결정론적 알고리즘을, 나머지 경우에는 랜덤화된 PTAS를 조합하여 고확률 $ (1+\epsilon) $-근사해를 달성한다.
• 확률적 분석을 통해, 고확률로 모든 투표들로부터의 해밍 거리가 $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT} $ 이내에 있고, 해의 1의 개수가 $k$ 에서 $ \frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT} $ 이내에 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Minimax Approval Voting에 대한 $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ 알고리즘은 향상시킬 수 있으며, 그러한 향상의 한계는 무엇인가?
• RQ2 시간 복잡도 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 에서 작동하는 Minimax Approval Voting에 대한 파arameterized 근사화 계획이 존재하는가? 그리고 이 한계는 엄밀한가?
• RQ3 Closest String에 대해 알려진 가장 빠른 PTAS에 거의 근접하는 실행 시간을 갖는 Minimax Approval Voting에 대한 랜덤화된 PTAS를 구성할 수 있는가?
• RQ4 유사한 실행 시간을 유지하면서 제안된 랜덤화된 PTAS를 결정론적으로 변환하는 것이 가능한가?
• RQ5 ETH 하에서 Minimax Approval Voting과 Closest String에 대한 PTAS에 대해 가장 엄밀한 실행 시간 한계는 무엇인가?

주요 결과

• Exponential Time Hypothesis(ETH)가 성립하지 않는 한, Minimax Approval Voting은 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ 시간 내에 해결될 수 없으며, 이는 Misra 등이 제안한 $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ 알고리즘이 본질적으로 최적임을 증명한다.
• 시간 복잡도 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 에서 작동하는 파arameterized 근사화 계획(PAS)이 제안되며, 이는 ETH 하에서 본질적으로 최적임을 입증한다.
• 시간 복잡도 $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$ 에서 작동하는 새로운 랜덤화된 다항시간 근사화 계획(PTAS)이 개발되었으며, 이는 Closest String에 대해 알려진 가장 빠른 PTAS에 거의 근접한다.
• PTAS는 확률 적어도 $ 1-r $ 에서 $ (1+\epsilon) $-근사해를 달성하며, 총 실행 시간은 $ n^{\mathcal{O}(\log(1/\epsilon)/\epsilon^2)} \cdot \text{poly}(m) $ 이내로 제한된다.
• ETH 하에서 Minimax Approval Voting에 대한 어떤 PTAS도 $ f(\epsilon) \cdot n^{o(1/\epsilon)} $ 시간 내에 작동할 수 없으며, 이는 어떤 PTAS의 실행 시간에 대한 본질적인 하한을 의미한다.
• 분석 결과, 확률 적어도 $ 1/2 $ 에서 모든 투표들로부터의 해밍 거리가 $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT} $ 이내에 있고, 해의 1의 개수가 $k$ 에서 $ \frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT} $ 이내에 있음을 보여주며, $ E_i $ 와 $ F_i $ 에 대한 농도 불확실성 불등식을 사용한다.