[논문 리뷰] Approximation and stability of solutions of SDEs driven by a symmetric \alpha\ stable process with non-Lipschitz coefficients

Hiroya Hashimoto|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비라플라스의 $\alpha$-안정 과정(1 < \alpha < 2)에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 비리프시츠 계수를 가진 오일러-마루야마 근사와 경로 기반 안정성을 수립한다. 코마츠 조건 하에서 $\beta \in (1,\alpha)$ 에 대해 $L^\beta$-노름 수렴을 증명하며, 이는 강한 해의 존재를 의미한다. 벨파드리-우크닌의 조건 하에서, $\beta < \alpha$ 에 대해 $L^\beta$-노름에서 경로 기반 안정성을 추가로 확립하여, 기존의 결과를 비브라운 레비 과정으로 확장한다.

ABSTRACT

Firstly, we investigate Euler-Maruyama approximation for solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by a symmetric \alpha\ stable process under Komatsu condition for coefficients. The approximation implies naturally the existence of strong solutions. Secondly, we study the stability of solutions under Komatsu condition, and also discuss it under Belfadli-Ouknine condition.

연구 동기 및 목표

• 비리프시츠 계수를 가진 대칭 $\\alpha$-안정 과정에 의해 구동되는 SDEs에 대해 강해의 존재를 수립하는 것.
• 비브라운 레비 과정에 의해 구동되는 SDEs로 오일러-마루야마 근사 방법을 확장하는 것.
• \alpha-안정 소음의 맥락에서 비리프시츠 조건 하에서 해의 경로 기반 안정성을 조사하는 것.
• 브라운 운동 SDEs에서의 고전적 안정성 및 근사 결과를 \alpha-안정 과정으로 일반화하는 것.
• 무거운 尾를 지닌 레비 노이즈를 가진 SDEs에서 수치적 방법과 안정성 분석의 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭 $\\alpha$-안정 과정에 의해 구동되는 SDEs의 해를 근사하기 위해 오일러-마루야마 스킴을 사용한다.
• 경로 유일성과 안정성을 보장하는 비리프시츠 계수 조건으로 코마츠 조건을 적용한다.
• 샘플 경로 증분을 제어하기 위해 에미의 부등식, 버크홀더-데이비스-건디 부등식, 두브의 최대부등식을 사용한다.
• 근사 오차의 큰 이탈 확률을 제한하기 위해 진-마르쿠스 부등식을 사용한다.
• 연속성의 모듈러스 $\rho$ 를 포함하는 기대값의 수렴을 다루기 위해 리만의 지배 수렴 정리를 적용한다.
• 부드러운 근사와 이토의 공식을 사용하여 해 차이의 $L^{\alpha-1}$-노름을 분석하기 위해 매끄러운 함수 $u_m = |\\cdot|^{\\alpha-1} * \phi_m$ 을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비리프시츠 계수를 가진 대칭 $\\alpha$-안정 과정에 의해 구동되는 SDEs에 대해 오일러-마루야마 스킴이 메쉬 크기 $\\|\Delta\\| \to 0$ 일 때 $L^\\beta$-노름에서 진짜 해로 수렴하는가?
• RQ2 코마츠 조건 하에서 $\\alpha$-안정 SDEs에 대해 경로 유일성과 강해의 존재가 확립될 수 있는가?
• RQ3 메쉬 크기 $\Delta \to 0$ 일 때 코마츠 조건 하에서 해가 경로 기반으로 안정적인가?
• RQ4 벨파드리-우크닌 조건은 $\beta < \alpha$ 에 대해 $L^\beta$-노름에서 해의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 벨파드리-우크닌 조건 하에서 근사 오차의 수렴성과 균일 적분 가능성은 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 코마츠 조건 하에서, 메쉬 크기 $\\|\Delta\\| \to 0$ 일 때 오일러-마루야마 근사는 임의의 $\beta \in (1,\\alpha)$ 에 대해 진짜 해로 $L^\beta$-노름에서 수렴한다.
• 이 수렴 결과는 대칭 $\\alpha$-안정 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 강해의 존재를 의미한다.
• 코마츠 조건 하에서 해의 경로 기반 안정성이 확립되며, $\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)| \to 0$ 이 확률적으로 성립하고 $\beta$-번째 모멘트의 균일 적분 가능성도 확보된다.
• 벨파드리-우크닌 조건 하에서 해 수열 $X_n(t)$ 는 임의의 $\beta < \alpha$ 에 대해 $X(t)$ 로 $L^\beta$-노름에서 수렴하며, $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)|^\beta] = 0$ 이다.
• 이 증명은 해 차이의 매끄러운 $L^{\alpha-1}$-노름과 $\alpha$-안정 과정의 전이 밀도를 통한 추정에 기반한다.
• 논문은 초기 조건의 수렴 $\mathbb{E}[|X_n(0) - X(0)|^\alpha] \to 0$ 이 해 경로의 $L^\beta$-안정성에 충분함을 수립한다.