[논문 리뷰] Approximation for the distribution of extremes of one dependent stationary sequences of random variables

Alexandru Amărioarei|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 1의존성(stationary)인 확률변수의 시퀀스에서 극단값 분포의 근사치 한계를 향상시켜 이전 결과의 적용 범위를 $ p_1 \leq 0.025 $ 에서 $ p_1 \leq 0.1 $ 으로 확장하고 오차 계수를 크게 감소시켰다. 주요 기여는 생성함수의 지배근 $ \lambda $ 를 사용한 최대값의 생존함수에 대한 더 정밀한 渐近 근사이며, 이는 이전 추정치보다 최대 5배까지 작은 명시적 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we improve some existing results concerning the approximation of the distribution of extremes of a 1-dependent and stationary sequence of random variables. We enlarge the range of applicability and improve the approximation error. An application to the study of the distribution of scan statistics generated by Bernoulli trials is given.

연구 동기 및 목표

• 이전의 $ p_1 \leq 0.025 $ 를 초과하는 1-의존성 시퀀스에 대한 극단값 근사치의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 이러한 시퀀스의 최대값 분포 근사에서 오차 한계를 감소시키기 위해.
• 생성함수 $ C_x(z) $ 의 지배근 $ \lambda $ 를 위한 더 날카운 파arametric 한계를 제공하기 위해.
• 최대값의 생존함수 $ q_n = \mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i \leq x) $ 를 $ \lambda^n $ 를 사용해 개선된 근사치를 제공하기 위해.
• 개선된 근사치를 1차원 이산 스캔 통계의 연구에 적용하기 위해.

제안 방법

• 생성함수 $ C_x(z) = 1 + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k p_{k-1} z^k $ 의 지배근 $ \lambda $ 에 대한 새로운 파arametric 한계를 유도하기 위해, 여기서 $ p_k = \mathbb{P}(\min_{1\leq i\leq k} X_i > x) $ 이다.
• 형태 $ |\lambda - (1 + p_1 - p_2 + p_3 - p_4 + 2p_1^2 + 3p_2^2 - 5p_1p_2)| \leq K(\alpha)p_1^3 $ 의 새로운 오차 한계를 설정하기 위해, $ \alpha = p_1 \leq 0.1 $ 인 경우 $ K(\alpha) $ 가 명시적으로 정의된다.
• 1의존성의 성질을 이용해 $ p_k $ 에 대한 한계를 도출하며, 특히 $ p_3 - p_4 \leq p_1(p_1 - p_2) $ 와 같은 고차항을 통제하기 위해.
• 정교한 근사치 $ |q_n \lambda^n - \mu_1| \leq \Gamma(\alpha)p_1^3 $ 를 구성하기 위해, 여기서 $ \mu_1 = 1 - p_2 + 2p_3 - 3p_4 + p_1^2 + 6p_2^2 - 6p_1p_2 $ 이다.
• 최종 근사치를 경험적 $ q_k $ 들의 형태로 표현하여 스캔 통계에 직접 적용 가능하게 하기 위해: $ |q_n - \frac{\nu_1}{\nu_2^n}| \leq \Delta_2(1 - q_1)^2 $.
• 급수 전개와 근의 위치 결정 기법을 사용하여 $ \lambda $ 가 $ (1, 1 + l p_1) $ 에서 존재하고 유일함을 증명하기 위해, $ l = l(\alpha) > t_2^3(\alpha) $ 이며, $ t_2 $ 는 방정정식 $ \alpha t^3 - t + 1 = 0 $ 의 절댓값이 두 번째인 근이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1-의존성 시퀀스에 대한 극단값 근사치의 적용 범위를 $ p_1 \leq 0.025 $ 를 초과하여 확장할 수 있는가?
• RQ2 지배근 $ \lambda $ 근사에서 오차 한계를 상당히 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 개선된 한계가 생존함수 $ q_n = \mathbb{P}(\max X_i \leq x) $ 근사 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 더 날카운 오차 한계는 1차원 베르누이 시행에서의 스캔 통계 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 실제 통계 응용에 실용적으로 사용할 수 있도록 근사치를 경험적 $ q_k $ 들의 형태로 직접 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 근사가 유효한 $ p_1 $ 의 범위가 이전의 $ \leq 0.025 $ 에서 $ \leq 0.1 $ 으로 확장되어 적용 범위가 크게 넓어졌다.
• 지배근 근사에서 오차 계수 $ |\lambda - (1 + p_1 - p_2 + \cdots)| \leq K(\alpha)p_1^3 $ 는 Haiman(1999)의 결과에 비해 최대 5배까지 감소하였으며, $ K(0.025) = 17.5663 $ 이고 이전 연구의 87 에 비해 감소하였다.
• 생존함수의 경우 오차 한계 $ |q_n \lambda^n - \mu_1| \leq \Gamma(\alpha)p_1^3 $ 는 $ \Gamma(0.025) = 145.202 $ 로 이전의 561 보다 상당히 작아졌다.
• 경험적 $ q_k $ 를 사용한 근사치 $ |q_n - \frac{2q_1 - q_2}{(1 + q_1 - q_2 + 2(q_1 - q_2)^2)^n}| \leq \Delta_2(1 - q_1)^2 $ 가 유도되었으며, 이때 $ \Delta_2 $ 는 $ n $ 과 $ \alpha $ 에 대해 명시적으로 의존한다.
• 새로운 한계는 오차 통제가 더 엄격해져서 스캔 통계, 특히 1차원 이산 경우에서 더 정확하고 신뢰할 수 있는 추론이 가능하게 하였다.
• 급수 전개, 근의 위치 결정, 1의존성 성질에서 유도된 부등식을 사용한 엄밀한 증명을 통해 결과가 검증되었다.