[논문 리뷰] Approximation hardness of Shortest Common Superstring variants

Yun William Yu|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 27.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 짧은 공통 초월문자열(Shortest Common Superstring, SCS) 문제의 변종에 대해 새로운 근사화 어려움 결과를 확립한다: 음수 문자열을 포함한 SCS(SCSN)는 로그-APX-난이도임을 증명하였고(따라서 로그-APX-완전), 음수 문자열과 와일드카드를 포함한 SCS(SCSNW)는 NPOPB-난이도임을 보였다. 이러한 결과는 각각 최소 집합 커버 문제와 최소 1개 3SAT 문제로부터의 축소를 통해 달성되었으며, 이는 게놈 어셈블리 연관 문자열 문제에서의 근사화 어려움 이해를 확장한다.

ABSTRACT

The shortest common superstring (SCS) problem has been studied at great length because of its connections to the de novo assembly problem in computational genomics. The base problem is APX-complete, but several generalizations of the problem have also been studied. In particular, previous results include that SCS with Negative strings (SCSN) is in Log-APX (though there is no known hardness result) and SCS with Wildcards (SCSW) is Poly-APX-hard. Here, we prove two new hardness results: (1) SCSN is Log-APX-hard (and therefore Log-APX-complete) by a reduction from Minimum Set Cover and (2) SCS with Negative strings and Wildcards (SCSNW) is NPOPB-hard by a reduction from Minimum Ones 3SAT.

연구 동기 및 목표

• 음수 문자열과 와일드카드를 포함한 SCS 변종에 대해 더 강력한 근사화 불가능성 경계를 설정함으로써, 계산 생물학 분야에서 관련된 문제들을 다루고자 한다.
• 이전에 알려지지 않았거나 불완전했던 SCSN 및 SCSNW에 대해 복잡도 지도에서의 갭을 메우고자 한다.
• 기존의 정점 커버 및 색칠 수 문제와 같은 NP-난이도 문제에서의 축소 기법을 음수 문자열과 와일드카드를 포함한 SCS 변종으로 확장하고자 한다.
• SCSNW가 SCSN보다 훨씬 더 어려운 문제임을 보여주기 위해, SCSN은 로그-APX에 속해 있는 반면 SCSNW는 NPOPB-난이도임을 입증하고자 한다.

제안 방법

• 최소 집합 커버 문제로부터의 축소를 사용하여 SCSN이 로그-APX-난이도임을 증명하였으며, 이전의 SCS 축소에서 사용된 겹치는 문자열 기반 기법을 재사용하였다.
• 최소 1개 3SAT 문제로부터의 새로운 축소를 구성하여 SCSNW가 NPOPB-난이도임을 증명하였으며, 와일드카드와 음수 문자열을 사용한 특수한 프레임, 변수, 절 기반 기법을 도입하였다.
• 프레임 기반 기법은 음수 문자열을 사용하여 초월문자열의 구조적 제약 조건을 강제함으로써, 예를 들어 특정 문자로 시작하게 하고, 변수 기반 기법이 적절히 정렬되지 않은 상태에서는 겹치지 않도록 한다.
• 변수 기반 기법은 변수를 참으로 설정할 경우 해당 문자열 전체가 오른쪽으로 이동하게 하여 길이 비용 3n을 유발하도록 설계되었으며, 참인 변수의 수를 최소화하는 목적을 모델링한다.
• 절 기반 기법은 음수 문자열을 사용하여 모든 리터럴이 거짓인 구성이 허용되지 않도록 하여, 최소한 하나의 변수가 참이 되어야만 절이 만족됨을 보장한다.
• 전체 구성은 다항 시간 내에 수행되며, L-축소로 정규화되어 원본 문제의 근사화 난이도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SCSN이 이미 로그-APX에 속해 있음을 고려할 때, SCSN이 로그-APX-난이도인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 SCSW는 다항-APX-난이도이고 SCSN은 로그-APX에 속해 있음에도 불구하고, 음수 문자열과 와일드카드를 모두 포함한 SCSN의 근사화 가능 클래스는 무엇인가?
• RQ3 최소 1개 3SAT과 같은 알려진 난이도 문제로부터의 축소를 통해 SCSNW의 난이도를 확립할 수 있는가?
• RQ4 음수 문자열과 와일드카드의 조합이 각각의 기능보다 훨씬 더 복잡한가?
• RQ5 SCSN에 와일드카드가 존재할 경우 더 강력한 난이도 결과를 도출할 수 있는가, 아니면 여전히 로그-APX 내에서 다룰 수 있는가?

주요 결과

• SCSN은 로그-APX-난이도이며, 이미 알려진 바와 같이 로그-APX에 속해 있으므로, 이는 로그-APX-완전함을 의미한다.
• SCSNW는 NPOPB-난이도이며, 이는 NPOPB 복잡도 클래스에서 가장 어려운 문제 중 하나임을 나타낸다.
• 최소 1개 3SAT 문제에서 SCSNW로의 축소는 L-축소이며, 이는 근사화 난이도를 유지함으로써 SCSNW가 NPOPB-난이도임을 확인한다.
• SCSNW 인스턴스의 구성에는 O(n⁵)의 연산이 필요하며, 크기가 4인 일정한 알파벳을 사용하며, 음수 문자열과 와일드카드를 제약 조건을 강제하기 위해 전략적으로 배치한다.
• SCSNW 인스턴스의 초월문자열 길이는 2 + 9n + 3nW이며, 여기서 W는 최소 1개 3SAT 해에서 참인 변수의 수를 의미한다. 이는 해의 비용과 초월문자열 길이 사이에 직접적인 대응 관계가 있음을 보여준다.
• 증명은 SCSNW가 SCSN보다 엄격히 더 어려운 문제임을 보여주며, SCSNW의 축소 과정에서 문자열당 Ω(n)개의 와일드카드가 필요하며, 이는 동일한 제약 조건 하에서 SCSN에서는 모방할 수 없다.