[논문 리뷰] Approximation in $AC(σ)$

Ian Doust, Michael Leinert외 1명|UNSWorks (University of New South Wales, Sydney, Australia)|2013. 12. 06.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 부분집합 $\sigma \subset \mathbb{R}^2$ 위에서의 절대연속 함수 공간 $AC(\sigma)$ 내에서, 연속 미분 가능한 함수 공간 $C^1(\sigma)$와 연속 조각별 평면 함수 공간 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$가 조밀하다는 것을 증명한다. 저자들은 변동(norm)을 사용하여 다항함수와 조각별 평면 함수를 통한 근사화를 통해 이 결과를 도출하며, 기존의 $AC[0,1]$에 대한 고전적 결과를 이중 차원 환경으로 일반화한다.

ABSTRACT

For a nonempty compact subset $σ$ in the plane, the space $AC(σ)$ is the closure of the space of complex polynomials in two real variables under a particular variation norm. In the classical setting, $AC[0,1]$ contains several other useful dense subsets, such as continuous piecewise linear functions, $C^1$ functions and Lipschitz functions. In this paper we examine analogues of these results in this more general setting.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트한 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$ 에 대해 $AC[0,1]$에서의 고전적 근사 결과를 다변수 설정인 $AC(\sigma)$로 확장하는 것.
• 표준적인 조밀한 부분집합들인 $C^1(\sigma)$, 리프시츠 함수, 연속 조각별 선형 함수들이 $AC(\sigma)$ 내에서 유사한 형태를 가지는지 조사하는 것.
• $C^1(\sigma)$와 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$가 변동(norm)에 대해 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 변동(norm) $\|f\|_{BV(\sigma)} = \|f\|_\infty + \operatorname{var}(f,\sigma)$를 정의하며, 여기서 $\operatorname{var}(f,\sigma)$는 유한한 리스트 $S\subset\sigma$ 에 대해 $\operatorname{cvar}(f,S)/\operatorname{vf}(S)$ 의 상한이다.
• $\mathrm{CTPP}(\sigma)$를 $\sigma$ 위에서의 연속 조각별 평면 함수 공간으로 정의하며, 이는 $[0,1]$ 위의 조각별 선형 함수의 이중 차원 해석에 해당한다.
• 절대연속성의 국소적 성격을 이용하여 전역 근사를 국소적 근사로, 컴팩트 이웃 영역으로 환원한다.
• 삼각형 위에서 평균값 정리와 롤의 정리를 적용하여 $C^1$ 함수와 그 조각별 평면 보간 함수 사이의 차이를 근사한다.
• 다항함수가 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하다는 사실을 활용하고, 조각별 평면 함수를 통한 근사를 통해 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$와 $C^1(\sigma)$의 조밀성을 보여준다.
• 실수부와 허수부로 분리하여 동일한 근사 기법을 적용함으로써, 실수 함수에서 복소수 함수로의 결과 확장을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $C^1(\sigma)$ 함수들이 컴팩트한 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$ 에서 $BV(\sigma)$-노름으로 $AC(\sigma)$ 내의 더 단순한 함수들에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ2 연속 조각별 선형 함수의 이중 차원 해석으로서, $AC(\sigma)$ 내에서 조밀한 함수 공간이 존재하는가?
• RQ3 $AC[0,1]$에 대한 고전적 근사 결과가 다변수 설정인 $AC(\sigma)$로 확장되는가?
• RQ4 $C^1(\sigma)$ 함수들이 변동 노름에서 조각별 평면 함수에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ5 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$와 $C^1(\sigma)$가 복소수 함수에 대해 $\sigma$ 위에서 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀한가?

주요 결과

• $C^1(\sigma)$는 변동 노름에 대해 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하다. 이는 $AC[0,1]$에서의 고전적 결과를 컴팩트한 평면 집합으로 일반화한 것이다.
• $\mathrm{CTPP}(\sigma)$인 연속 조각별 평면 함수 공간은 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하다. 이는 조각별 선형 근사의 자연스러운 다변수 해석을 제공한다.
• 모든 $f\in AC(\sigma)$와 $\varepsilon>0$에 대해, $\|f-g\|_{BV(\sigma)}<\varepsilon$ 를 만족하는 $g\in\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 가 존재하며, 이는 삼각형 위에서의 국소 근사를 통해 명시적인 상한이 유도된다.
• 동일한 근사 결과는 복소수 함수에 대해서도 성립한다. 실수부와 허수부 모두 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 함수로 근사 가능하기 때문이다.
• 변동 노름은 국소에서 전역으로의 추론을 가능하게 한다: $\sigma$의 각 점의 컴팩트 이웃에서 절대연속인 함수는 $AC(\sigma)$에 속한다.
• $C^1(\sigma)$가 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하다는 사실은 다항함수가 $AC(\sigma)$ 내에서 조밀하고, $C^1(\sigma)$가 모든 다항함수를 포함하기 때문에 유도된다.