[논문 리뷰] Approximation of BEM matrices using GPGPUs

Steffen Börm, Sven Christophersen|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 25.

Electromagnetic Scattering and Analysis인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 소비자용 GPGPU에 벡터화 가능한 근접장 계산 및 원거리장 압축 구성 요소를 이관함으로써 경계요소법(BEM) 행렬의 조립을 가속화하는 하이브리드 CPU-GPU 알고리즘을 제안한다. 3D 라플라스 및 헬름홀츠 방정식에 대해 4 核 CPU 대비 설정 시간에서 19-30배의 성능 향상을 달성한다.

ABSTRACT

The efficiency of boundary element methods depends crucially on the time required for setting up the stiffness matrix. The far-field part of the matrix can be approximated by compression schemes like the fast multipole method or $\mathcal{H}$-matrix techniques. The near-field part is typically approximated by special quadrature rules like the Sauter-Schwab technique that can handle the singular integrals appearing in the diagonal and near-diagonal matrix elements. Since computing one element of the matrix requires only a small amount of data but a fairly large number of operations, we propose to use GPUs to handle vectorizable portions of the computation: near-field computations are ideally suited for vectorization and can therefore be handled very well by GPUs. Modern far-field compression schemes can be split into a small adaptive portion that exhibits divergent control flows and is handled by the CPU and a vectorizable portion that can again be sent to GPUs. We propose a hybrid algorithm that splits the computation into tasks for CPUs and GPUs. Our method presented in this article is able to speedup the setup time of boundary integral operators by a significant factor of 19-30 for both the Laplace and the Helmholtz equation in 3D when using two consumer GPGPUs compared to a quad-core CPU.

연구 동기 및 목표

• 경계요소법(BEM)에서 강성 행렬 조립의 높은 계산 비용, 특히 3D 문제에서의 비용을 해결한다.
• BEM 응용에서 비용이 많이 드는 근접장 적분과 행렬 압축으로 인한 성능 저하 문제를 해결한다.
• GPU의 막대한 병렬 처리 능력을 활용하여 BEM 행렬 조립의 벡터화 가능한 부분을 가속화하면서도, 분기 제어 흐름은 CPU에 이관한다.
• 성능을 극대화하면서 정확도를 훼손하지 않도록 CPU와 GPU 간에 작업을 효율적으로 분할하는 하이브리드 알고리즘을 개발한다.

제안 방법

• 근접장 행렬 항목의 계산을 GPU에 위임하여, 각 요소당 강력한 산술 연산이 필요한 본질적으로 벡터화 가능한 계산을 가속화한다.
• 근접장 행렬 항목 내의 특이 적분을 고정밀도로 처리하기 위해 Sauter-Schwab 적분 기법을 적용한다.
• 원거리장 압축을 두 부분으로 분할한다: 분기 제어 흐름이 복잡한 소규모 적응형 부분은 CPU에서 처리하고, 벡터화 가능한 부분은 GPU에 위임한다.
• 원거리장 행렬 근사에 신속한 다중체 방법(FMM) 또는 H-행렬 기법을 적용하며, GPU 가속을 벡터화 가능한 구성 요소에 적용한다.
• CPU와 GPU 간의 부하를 균형 있게 분배하고 데이터 전송 오버헤드를 최소화하며 처리량을 극대화하는 하이브리드 작업 스케줄링 전략을 설계한다.
• 실제 3D BEM 시나리오에서 성능 향상을 평가하기 위해 두 대의 소비자용 GPGPU에 알고리즘을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GPU 가속을 통해 3D BEM 시뮬레이션에서 경계 적분 연산자의 설정 시간을 크게 줄일 수 있는가?
• RQ2 BEM 행렬 조립에서 하이브리드 CPU-GPU 접근 방식의 성능이 순수 CPU 기반 구현 대비 어떻게 비교되는가?
• RQ3 BEM 행렬 계산 중에서 GPU 가속에 가장 적합한 부분은 무엇이며, 어떻게 효과적으로 분할할 수 있는가?
• RQ4 원거리장 압축의 벡터화 가능한 구성 요소를 GPU에서 얼마나 빠르게 처리할 수 있으며, 수치 정확도를 훼손하지 않을 수 있는가?
• RQ5 라플라스 및 헬름홀츠 방정식에 대해 두 대의 소비자용 GPGPU를 사용할 경우, 4 核 CPU 대비 행렬 조립 시간에서 기대할 수 있는 최대 성능 향상은 어느 정도인가?

주요 결과

• 제안된 하이브리드 CPU-GPU 알고리즘은 3D 라플라스 및 헬름홀츠 방정식에서 경계 적분 연산자의 설정 시간을 4 核 CPU 대비 19-30배 빠르게 한다.
• 매우 벡터화 가능한 근접장 행렬 계산은 GPU에서 효율적으로 가속되어 전체 성능 향상에 기여한다.
• 원거리장 압축 구성 요소는 분기 제어 흐름이 있는 부분(CPU)과 벡터화 가능한 부분(GPU)으로 성공적으로 분할되어 GPU의 효율적 활용이 가능해졌다.
• 특이 적분을 처리하기 위해 기존의 Sauter-Schwab 적분 규칙을 유지함으로써 높은 수치 정확도를 유지는 유지된다.
• 성능 향상은 라플라스 방정식과 헬름홀츠 방정식 모두에서 일관되게 나타나, 타원형 PDE에 대한 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 고성능 컴퓨팅 분야에서 엔지니어링 및 과학 계산에 실용적인 접근을 가능하게 하기 위해 전용 하드웨어 없이도 소비자용 GPGPU 두 대를 사용하여 상당한 성능 향상을 달성할 수 있다.