[논문 리뷰] Approximation of classes of analytic functions by de la Vallee Poussin sums in uniform metric

A. S. Serdyuk, Ie. Yu. Ovsii외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소수 평면의 스트립 내에서 해석적 계속성을 갖는 $(\psi,\beta)$-미분 가능성으로 정의된 해석 함수의 클래스에 대해, 균일 노름에서 de la Vallée Poussin 합을 이용한 최적 근사의 渐近 등식을 수립한다. 주요 결과는 $\psi(n-p+1)$, $q^{n-p+1}$ 및 커널에 특화된 적분을 포함한 수렴 속도를 정량화하며, $p$, $q$, 그리고 미세도 모듈러스에 의존하는 명시적 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper asymptotic equalities are found for the least upper bounds of deviations in the uniform metric of de la Vallee Poussin sums on classes of 2π-periodic (ψ,β)-differentiable functions admitting an analytic continuation into the given strip of the complex plane. As a consequence, asymptotic equalities are obtained on classes of convolutions of periodic functions generated by the Neumann kernel and the polyharmonic Poisson kernel.

연구 동기 및 목표

• 균일 노름에서 $2\pi$-주기 함수의 $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ 클래스에 대한 최적 근사 오차에 대한 渐近 등식 유도
• 이전 결과인 $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ 를 $\psi \in D_0$ (전체 함수)의 경우에서부터 $\psi \in D_q$, $q \in (0,1)$ 로 확장하여, 스트립 내에서 해석적 함수에 대응하는 경우로 확장
• Neumann 커널과 다항조화 Poisson 커널로 생성된 클래스에 대한 근사 분석을 수행하며, $p$, $n$, 그리고 미세도 매개변수에 대한 명시적 의존성 제공
• 오차 추정치를 $q^{n-p+1}$, $\psi(n-p+1)$ 및 $[0, \pi/2]$ 에서의 $\sin t$ 와 연속성 모듈러스 $\omega(t)$ 로 가중된 적분을 포함하는 정밀한 오차 추정 제공

제안 방법

• 주기 $2\pi$ 인 함수의 클래스 $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ 을 정의하며, $\psi \in D_q$, $q \in (0,1)$ 이면 $|\operatorname{Im} z| \leq \ln(1/q)$ 에서의 해석적 계속성을 암시함
• 근사 연산자로 de la Vallée Poussin 합 $V_{n,p}(f;x) = \frac{1}{p} \sum_{k=n-p}^{n-1} S_k(f;x)$ 를 사용하며, $p = p(n) \leq n$ 이다
• asymptotic equivalent 를 $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ 와 $\psi(n-p+1)$ 곱하기 커널에 의존하는 적분 간에 수립하며, 이는 $\mathbf{K}(q^p)$, $K_{q,p}(s')$, 및 $\int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt$ 를 포함함
• 기존의 $\mathcal{E}(C^q_\beta \mathfrak{N}; S_{n-1})$ 의 渐近 수식을 활용하고, $\psi(n) q^{-n}$ 을 통한 스케일링을 통해 일반적인 $\psi \in D_q$ 에 대한 결과 유도
• $\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$ 의 추정치를 적용하여 渐近 전개의 오차 항을 제어함
• Neumann 커널 ($\psi(k) = q^k/k$) 와 다항조화 Poisson 커널 ($\psi_m(k)$) 의 명시적 공식 유도 및 각각의 $\varepsilon_n$ 추정치 제공

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\psi \in D_q$, $q \in (0,1)$ 인 경우에 대해 $n-p \to \infty$ 일 때 최적 근사 오차 $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ 의 渐近 행동은 어떠한가?
• RQ2 $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ 클래스에 대한 근사 속도는 매개변수 $p$ 와 감쇠 속도 $q$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 $\mathfrak{N} = U_s^0$ 또는 $\mathfrak{N} = H_\omega$ 인 경우에 대해, 연속성 모듈러스 $\omega$ 가 볼록일 때 정확한 渐近 수식은 무엇인가?
• RQ4 Neumann 커널 ($\psi(k) = q^k/k$) 와 다항조화 Poisson 커널 ($\psi_m(k)$) 의 경우에 대해, $m$ 과 $q$ 에 대한 의존성은 어떻게 다를까?
• RQ5 오차 전개의 오차 항에서 $\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$ 의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathfrak{N} = U_s^0$, $1 \leq s \leq \infty$ 인 경우, 渐近 등식은 다음과 같다: \\n\mathcal{E}(C^\psi_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{2^{2+\alpha}}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{1}{(1-q)^{\gamma(p)}(n-p+1)^{1-\alpha}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right)
• $\mathfrak{N} = H\omega$ 인 경우, 渐近 수식은 다음과 같다: \\n\mathcal{E}(C^\psi_{\beta}H_\omega; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{4}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} \omega\left(\frac{2t}{n-p+1}\right) \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{\omega(\pi)}{(1-q)^{\gamma(p)}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \omega\left(\frac{1}{n-p+1}\right) \right) \right)
• Neumann 커널 ($\psi(k) = q^k/k$) 의 경우, $\varepsilon_{n-p+1} = \frac{q}{n-p+2}$ 이고, 이에 따라 \\n\mathcal{E}(C^{q/k}_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{q^{n-p+1}}{p(n-p+1)} \left( \frac{\|\cos t\|_{s'}}{\pi^{1+1/s'}} K_{q,p}(s') + O(1) \left( \frac{1}{(n-p+1)} \left( \frac{1}{(1-q)^{\sigma(s',p)}} + \frac{q}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right) \right)
• 다항조화 Poisson 커널 ($\psi_m(k)$) 의 경우, 오차의 渐近 수식에는 $1 + \sum_{j=1}^{m-1} \frac{(1-q^2)^j}{j! 2^j} \prod_{l=0}^{j-1} (n-p+1 + 2l)$ 의 인자가 포함되어 있으며, 이는 커널의 차수 $m$ 을 반영한다
• 오차 항은 $n$, $p$, $q$, $s$, $\omega$, $\beta$ 에 대해 균일하게 유계이며, $O(1)$ 항은 $n-p$ 와 무관하다
• 이전의 $S_{n-1}$ (즉, $p=1$) 의 결과를 일반적인 $p \geq 1$ 으로 일반화하였으며, 전체 함수 ($\psi \in D_0$) 에서 스트립 내 해석 함수 ($\psi \in D_q$, $q \in (0,1)$) 로 범위를 확장하였다