[논문 리뷰] Approximation of corner polyhedra with families of intersection cuts

Gennadiy Averkov, Amitabh Basu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 04.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 면의 수가 유한한 격자 자유 다면체에서 유도된 교차 컷을 사용하여 角 다면체를 근사할 때의 날카운 임계값을 규명한다. n개의 기본 정수 변수를 가진 경우, 상수 요인 근사가 가능할 조건은 격자 자유 집합의 면 수가 $2^{n-1}$개를 초과할 때에만 성립하며, 그렇지 않으면 그러한 근사가 불가능하다. 특히 분수 꼭짓점의 분모에 따라 근사 요인이 달라질 경우, 임계값은 $n$개 면으로 이동한다.

ABSTRACT

We study the problem of approximating the corner polyhedron using intersection cuts derived from families of lattice-free sets in $\mathbb{R}^n$. In particular, we look at the problem of characterizing families that approximate the corner polyhedron up to a constant factor, which depends only on $n$ and not the data or dimension of the corner polyhedron. The literature already contains several results in this direction. In this paper, we use the maximum number of facets of lattice-free sets in a family as a measure of its complexity and precisely characterize the level of complexity of a family required for constant factor approximations. As one of the main results, we show that, for each natural number $n$, a corner polyhedron with $n$ basic integer variables and an arbitrary number of continuous non-basic variables is approximated up to a constant factor by intersection cuts from lattice-free sets with at most $i$ facets if $i> 2^{n-1}$ and that no such approximation is possible if $i \leq 2^{n-1}$. When the approximation factor is allowed to depend on the denominator of the fractional vertex of the linear relaxation of the corner polyhedron, we show that the threshold is $i > n$ versus $i \leq n$. The tools introduced for proving such results are of independent interest for studying intersection cuts.

연구 동기 및 목표

• 차원 n에만 의존하는 상수 요인 근사가 가능한 데 필요한 격자 자유 집합의 최소 복잡도를 규명하는 것.
• 각각의 데드라인 다면체에서 상수 요인 근사가 가능한 면 수의 임계값을 규명하는 것.
• 선형 계획의 분수 꼭짓점의 구조가 근사 품질에 어떻게 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 게이지 함수와 격자 자유 단체의 동형 복사체를 이용해 근사 요인에 대한 날카운 경계를 설정하는 것.
• 유한 면 수를 가진 가족에서 유도된 교차 컷을 통해 角 다면체를 표현할 수 있는지에 대한 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 저자는 격자 자유 집합의 게이지 함수를 사용해 교차 컷을 정의하며, 집합 B에 대한 컷은 $ C_B(R,f) = \{ s \geq 0 : \sum s_i \psi_{B-f}(r_i) \geq 1 \} $ 로 주어진다.
• i-다면체 폐쇄는 면 수가 최대 $i$개인 모든 격자 자유 다면체에서 유도된 컷들의 교차로 정의된다.
• 핵심 기법은 최대 격자 자유 단체 $L$의 동형 복사체 $L_\alpha$를 스케일링 인자 $\alpha$를 사용해 구성하는 것으로, 이는 격자 자유 집합 내부에 포함되는 정도를 제어한다.
• 증명은 차원에 대한 귀납법을 사용하며, 만약 면 수가 $i \leq n$인 격자 자유 집합 $B$가 스케일링된 복사체 $\mu L + (1-\mu)f$를 포함한다면, $L$의 면들의 상대 내부에 있는 두 점을 연결하는 선분도 반드시 $B$에 포함되어야 한다는 사실을 활용한다.
• 비둘기집 원리에 기반한 모순 증명 기법을 적용한다: $n$개의 반평면이 $n+1$개의 점을 덮는다면, 적어도 하나의 반평면이 두 점을 모두 덮게 되며, 이는 $B$의 내부를 가로지르는 선분이 존재함을 의미한다. 이는 격자 자유성과 모순된다.
• 근사 요인이 데이터에 독립적인 경우(데이터에 영향을 받지 않는 경우)와 데이터에 따라 변하는 경우(분수 꼭짓점의 분모에 따라 변하는 경우)를 구분하여 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 자유 다면체가 최대 $i$개의 면을 가질 때, 그로부터 유도된 교차 컷이 차원 $n$에만 의존하는 상수 요인으로 角 다면체를 근사할 수 있는 데 필요한 면 수의 최소값은 얼마인가?
• RQ2 격자 자유 집합의 면 수에 대해 상수 요인 근사가 가능해지는 데 대한 날카운 임계값이 존재하는가?
• RQ3 근사 요인이 선형 계획의 분수 꼭짓점의 분모에 따라 달라지도록 허용할 경우, 근사 품질은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 면 수가 $i \leq 2^{n-1}$개인 격자 자유 집합에서 유도된 교차 컷이 角 다면체를 상수 요인 내에서 근사할 수 있는가?
• RQ5 최대 격자 자유 단체의 동형 복사체가 근사 품질에 대한 날카운 경계를 설정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $ n \in \mathbb{N} $에 대해, $n$개의 기본 정수 변수를 가진 角 다면체는 면 수가 최대 $i$개인 격자 자유 집합에서 유도된 교차 컷을 통해 상수 요인 내에서 근사 가능할 조건은 $ i > 2^{n-1} $일 때에만 성립한다.
• 면 수 $ i \leq 2^{n-1} $이면 상수 요인 근사가 불가능하며, 이는 $2^{n-1}$개 면에서 날카운 임계값을 이룬다.
• 근사 요인이 선형 계획의 분수 꼭짓점의 분모에 따라 달라지도록 허용할 경우, 임계값은 $ i > n $ 대비 $ i \leq n $로 이동한다.
• 증명은 $ i \leq n $일 경우 비율 $ \rho_f(\mathcal{L}_i^n, \mathcal{L}_{i+1}^n) = \infty $임을 보여, 균일한 근사가 불가능함을 시사한다.
• 저자는 $ i > n $일 경우 $ C_{\mathcal{L}_i^n}(R,f) $ 가 $ \operatorname{Cor}(R,f) $ 를 $ \operatorname{Flt}(n) 4^{n-1} s $ 요인 이내로 근사함을 보였으며, 여기서 $ s $는 분수 꼭짓점의 분모이다.
• 최대 격자 자유 단체 $L$의 동형 복사체 $L_\alpha$를 구성하는 것이 $2^{n-1}$개 면에서의 날카운 임계값을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.