[논문 리뷰] Approximation of martingale couplings on the line in the weak adapted topology

Mathias Beiglböck, Benjamin Jourdain외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수선 상에서 적응형 약한 위상 하에서 마팅게일 커플링의 안정성을 확립하며, 볼록 순서에서의 여유분의 분포에 대한 작은 변화가 해당 마팅게일 커플링에 작은 변화를 초래함을 증명한다. 핵심 기여는 고전적 커플링 안정성의 유사성에 대한 엄밀한 증명으로, 적응형 와서르슈타인 거리에 대한 새로운 안정성 결과에 기반하며, 강건한 금융 및 최적 스토카로호드 임베딩에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

Our main result is to establish stability of martingale couplings: suppose that $\\pi$ is a martingale coupling with marginals $\\mu, \ u$. Then, given approximating marginal measures $\ ilde \\mu \\approx \\mu, \ ilde \ u\\approx \ u$ in convex order, we show that there exists an approximating martingale coupling $\ ilde\\pi \\approx \\pi$ with marginals $\ ilde \\mu, \ ilde \ u$. In mathematical finance, prices of European call / put option yield information on the marginal measures of the arbitrage free pricing measures. The above result asserts that small variations of call / put prices lead only to small variations on the level of arbitrage free pricing measures. While these facts have been anticipated for some time, the actual proof requires somewhat intricate stability results for the adapted Wasserstein distance. Notably the result has consequences for a several related problems. Specifically, it is relevant for numerical approximations, it leads to a new proof of the monotonicity principle of martingale optimal transport and it implies stability of weak martingale optimal transport as well as optimal Skorokhod embedding. On the mathematical finance side this yields continuity of the robust pricing problem for exotic options and VIX options with respect to market data. These applications will be detailed in two companion papers.

연구 동기 및 목표

• 마팅게일 최적 운반 이론의 기초적 간극을 메우기 위해, 여유분의 수렴에 대한 약한 수렴 하에서 마팅게일 커플링의 안정성을 확립한다.
• 표준 최적 운반 커플링에 대한 고전적 안정성 결과에 대응하는 마팅게일 운반 이론 내의 결과를 제공한다.
• 이국적 및 VIX 옵션의 모델 독립적 가격 설정에서 강건한 수치적 근사와 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 고전적 운반 이론에서 사이클릭 단조성에 대응하는 약한 마팅게일 최적 운반에 대한 단조성 원리의 개발을 지원한다.
• 적응형 와서르슈타인 거리의 안정성에 기반하여 최적 스토카로호드 임베딩 및 약한 마팅게일 최적 운반의 이론적 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 적응형 약한 위상에서 마팅게일 커플링의 수렴을 측정하기 위해 핵심 척도로 적응형 와서르슈타인 거리(AW1)를 활용한다.
• 변경된 여유분과 조건부 분해 및 정규화 기법을 조합하여 근사 마팅게일 커플링을 구성한다.
• 유계 도메인에서 커플링의 행동을 제어하기 위해 컴act 지지 집합의 수열과 절단 기법을 사용한다.
• 원래 커플링 π와 정규화된 버전 π^{R,α} 사이의 균형을 맞추기 위해 매개변수 ε를 사용한 변형 기법을 적용한다. 이로써 AW1 거리에서의 수렴을 보장한다.
• 접합 레미마 및 삼각 부등식을 활용하여 근사 커플링과 목표 커플링 사이의 적응형 와서르슈타인 거리를 유계화한다.
• 여유분 간의 볼록 순서 조건 ν^{R,α} ≤_c ν 를 활용하여, 변경된 여유분 간의 마팅게일 커플링 존재성을 보장하며, 이는 [37]의 결과에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 최적 운반 커플링에 대한 고전적 안정성 결과를 실수선 상의 마팅게일 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 마팅게일 커플링의 여유분에서의 작은 변화가 적응형 약한 위상 하에서 커플링 자체에 작은 변화를 초래하는가?
• RQ3 마팅게일 제약 조건이 유지될 때, 여유분의 변화에 대해 적응형 와서르슈타인 거리가 안정적인가?
• RQ4 적응형 와서르슈타인 거리의 안정성 성질로부터 마팅게일 최적 운반 이론에서의 단조성 원리를 유도할 수 있는가?
• RQ5 이 안정성 결과가 수학적 금융에서 이국적 및 VIX 옵션의 강건한 가격 설정에 어떤 함의를 지니는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 여유분 μ, ν 를 가진 마팅게일 커플링 π 와, 볼록 순서에서 μ^k → μ, ν^k → ν 를 만족하는 임의의 수열에 대해, π^k ∈ Π_M(μ^k, ν^k) 인 마팅게일 커플링 수열 π^k 이 존재하며, 이는 적응형 약한 위상에서 π 로 수렴함을 증명한다.
• 수렴은 적응형 와서르슈타인 거리로 정량화되며, AW1(π^k, π) → 0 (k → ∞) 이다. 이는 여유분의 약한 수렴 하에서의 안정성을 확립한다.
• 이 결과는 이국적 옵션 및 VIX 옵션의 강건한 가격 설정 문제의 연속성을 암시하며, 시장 데이터에 대한 작은 변화(여유분 측도를 반영)가 무위험 가격 측도 집합에 작은 변화를 초래함을 의미한다.
• 안정성 결과는 고전적 운반 이론에서의 사이클릭 단조성과 유사한 마팅게일 최적 운반 이론 내의 단조성 원리에 대한 새로운 증명을 가능하게 한다.
• 이 방법은 여유분이 변화된 경우에도 근사 마팅게일 커플링의 존재를 보장하며, 절단, 정규화 및 접합 기법의 조합을 사용한다.
• 결과는 고차원에서는 성립하지 않으며, Brückerhoff와 Juillet가 이를 보여주었으므로, 마팅게일 최적 운반 이론에서 일차원 설정의 특별한 역할을 강조한다.