[논문 리뷰] Approximation of mixed order Sobolev functions on the $d$-torus -- Asymptotics, preasymptotics and $d$-dependence

Thomas Kuehn, Winfried Sickel외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 22.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $d$-토러스 위의 $d$-변수 주기적 함수에 대한 $s>0$ 고정 smoothness를 갖는 Sobolev 공간에서의 근사화 문제를 다루며, approximation numbers의 渐近적 및 전점근적 행동과 차원 $d$ 에 대한 의존성에 초점을 맞춘다. 고정된 smoothness $s>0$ 에 대해 approximation constants 가 $d$ 에 대해 초지수적 감쇠함을 규명하고, approximation 문제의 준다항식 가속성(tractability)을 증명함으로써 고차원 수치해석 분야의 핵심 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We investigate the approximation of $d$-variate periodic functions in Sobolev spaces of dominating mixed (fractional) smoothness $s>0$ on the $d$-dimensional torus, where the approximation error is measured in the $L_2-$norm. In other words, we study the approximation numbers of the Sobolev embeddings $H^s_{ m mix}(\mathbb{T}^d)\hookrightarrow L_2(\mathbb{T}^d)$, with particular emphasis on the dependence on the dimension $d$. For any fixed smoothness $s>0$, we find the exact asymptotic behavior of the constants as $d o\infty$. We observe super-exponential decay of the constants in $d$, if $n$, the number of linear samples of $f$, is large. In addition, motivated by numerical implementation issues, we also focus on the error decay that can be achieved by low rank approximations. We present some surprising results for the so-called ``preasymptotic'' decay and point out connections to the recently introduced notion of quasi-polynomial tractability of approximation problems.

연구 동기 및 목표

• Sobolev 공간의 혼합 smoothness를 갖는 $d$-토러스 위에서 approximation numbers 가 차원 $d$ 에 어떻게 의존하는지 분석하기 위해.
• 고차원에서 approximation rate 의 渐近적 및 전점근적 행동을 명확히 하기 위해.
• 특히 준다항식 가속성과 같은 가속성 성질을 확립하기 위해.
• approximation rate 추정치에 $d$ 와 $s$ 에 따라 의존하는 명시적이고 날카로운 상수를 제공하기 위해.

제안 방법

• $s > 0$ 고정일 때 $n \to \infty$ 에서 approximation numbers $a_n(I_d)$ 의 정확한 渐近적 행동을 유도하여, $\left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s (\ln n)^{(d-1)s} n^{-s}$ 로 수렴함을 보임.
• Hilbert 공간 사이의 컴 pact 연산자에 대한 스펙트럼 분석과 특이값 분해를 이용하여 approximation numbers 를 특이값으로 특성화함.
• 다중지표에 대한 조합적 추정 및 합계의 경계를 활용하여 근사 오차 분해에서 항의 수의 증가를 제어함.
• 최소 샘플 수 $n(\varepsilon, d)$ 가 오차 $\varepsilon$ 를 달성하기 위해 필요한 양을 유도함으로써 준다항식 가속성의 개념을 적용함. 이때 $\ln n(\varepsilon, d) \leq C \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)$ 를 유도함.
• 다양한 등가 노름들 $H^{s}_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 간의 비교를 통해, 상한에서의 상수 $C_s(d)$ 가 $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$ 로 초지수적으로 감쇠함을 보임. 이는 $2 \leq \lambda \leq 6$ 이며, 노름의 종류에 따라 다름.
• 텐서 곱의 구조와 관련을 설정하고, 기존의 텐서 곱 연산자 이론을 활용하여 단변수 행동에서의 가속성을 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $s > 0$ 과 증가하는 $d$ 에 대해 $n \to \infty$ 에서 approximation numbers $a_n(I_d)$ 의 정확한 渐近적 행동은 무엇인가요?
• RQ2 특히 $n \leq 4^d$ 인 전점근 영역에서 approximation 오차는 어떻게 감쇠하며, 이는 실용적 알고리즘에 어떤 함의를 갖는가요?
• RQ3 approximation 상수의 차원 $d$ 에 대한 의존성은 무엇이며, 초지수적으로 감쇠하는가요?
• RQ4 approximation 문제의 준다항식 가속성이 성립하는가? 이는 차원의 고통의 문제와 어떻게 관련되는가요?
• RQ5 다양한 등가 노름들 $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 이 approximation rate 추정치의 상수에 어떤 영향을 미치는가요?

주요 결과

• Approximation numbers 는 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^s a_n(I_d)}{(\ln n)^{(d-1)s}} = \left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s$ 를 만족하며, 이는 $d$ 에 대해 초지수적 감쇠를 보이는 정확한 渐近적 행동을 나타냄.
• Approximation rate 상한에서의 상수 $C_s(d)$ 는 $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$ 로 표현되며, $2 \leq \lambda \leq 6$ 이며 고정된 $s > 0$ 에 대해 $d$ 에 대해 초지수적 감쇠함을 나타냄.
• 특히 $n \leq 4^d$ 에서 전점근 감쇠는 느리며, 감쇠율 $n^{-s}(\ln n)^{(d-1)s}$ 는 $\left(\frac{d-1}{e}\right)^{s(d-1)}$ 에서 최댓값을 보이며, 이는 $d$ 에 대해 초지수적으로 증가함. 이는 감쇠의 시작 시점이 지연됨을 의미함.
• Approximation 문제의 준다항식 가속성이 성립함: $n(\varepsilon, d) \leq C_t \exp\left(t \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)\right)$, 일부 $t, C_t > 0$ 에 대해. 이는 샘플 수가 $d$ 와 $\varepsilon^{-1}$ 에 대해 느리게 증가함을 의미함.
• 문제는 다항식 가속성이 아니지만 약한 가속성(weakly tractable)이며, $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 에 대해 고려된 모든 등가 노름들에 대해 준다항식 가속성이 성립함. 이는 $H^{s,\#}_{\rm mix}$, $H^{s,+}_{\rm mix}$, $H^{s,*}_{\rm mix}$, $H^m_{\rm mix}$ 를 포함함.
• 결과는 다중지표 집합에 대한 조합적 추정 및 스펙트럼 분석을 통해 도출되었으며, 텐서 곱 연산자와 기존의 가속성 이론과의 연결고리를 포함함.