[논문 리뷰] Approximation of operators in Banach spaces

O. I. Reinov|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 20.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 절대 $ p $-합성 및 준-$ p $-핵심 연산자의 근사에 대해 $ \pi_p $-콤��� 수렴 위상에 기반한 연구를 수행한다. $ p \neq 2 $ 인 경우, 유한 차원 연산자가 $ \pi_p $-노름에 대한 준-$ p $-핵심 연산자 공간에서 밀도가 아님을 보이며, 반면 $ \tau_p $-위상에서 절대 $ p $-합성 연산자 공간에서는 밀도가 됨을 확인한다. 주요 기여는 $ \operatorname{QN}_p $에서 유한 차원 연산자의 밀도에 대한 반례를 구성하여, 2-합성 가능성이 아닌 설정에서의 근사 성질에 대한 오랜 질문을 해결한 것이다.

ABSTRACT

It is a translation of an old paper of mine. We describe the topology tau_p in the space Pi_p(Y,X), for which the closures of convex sets in tau_p and in *-weak topology of the space Pi_p(Y,X) are coincident. Thereafter, we investigate some properties of the space Pi_p, related to this new topology. 2010-remark: Occasionally, the topology is coincides with the lambda_p-topology from the paper "Compact operators which factor through subspaces of l_p", Math. Nachr. 281(2008), 412-423 by Deba Prasad Sinha and Anil Kumar Karn.

연구 동기 및 목표

• 준-$ p $-핵심 연산자 공간에서 $ \pi_p $-노름 위상 하에서 유한 차원 연산자의 밀도를 조사하는 것.
• 절대 $ p $-합성 연산자 공간의 쌍대 공간을 $ \pi_p $-콤팩트 수렴 위상인 $ \tau_p $-위상 하에서 특성화하는 것.
• P. Saphar가 제기한, $ \Pi_p(Y,X) $에서 볼록 집합에 대해 약한 위상과 $ \tau_p $-위상의 폐쇄가 일치하는지 여부에 대한 질문을 해결하는 것.
• 특정 반례를 구성하여, $ p \neq 2 $ 인 경우 approximation property $ \operatorname{AP}_p $가 $ \operatorname{QN}_p $에서 유한 차원 연산자의 밀도를 보장하지 못함을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한 차원 연산자 공간 $ \Pi_p(Y,X) $에 대해 $ \pi_p $-콤팩트 수렴 위상으로 정의된 $ \tau_p $-위상을 도입하며, 국소 기저 $ \omega_{K,\varepsilon} = \{ U \in \Pi_p(Y,X) : \pi_p(U\Phi_K) < \varepsilon \} $ 를 사용한다.
• 콤팩트 부분집합 $ K \subset Y $ 에 대해 자연스러운 임bedding $ \Phi_K: X_K \to X $ 를 정의하고, 연산자가 관련된 바나흐 공간 $ X_K $ 에서의 행동을 연구한다.
• 연산자 이상의 쌍대 이론을 적용하여, $ (\operatorname{R}, \tau_p)' $ 를 $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ 의 몫으로 식별하며, 트레이스 함수를 통해 표현한다.
• 직접 합 구조를 이용한 바나흐 공간의 구성으로, $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ 에 대해 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ 이지만, 모든 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ 이 되는 텐서 원소 $ z $ 를 구성한다.
• 이де알 $ \operatorname{QN}_p $ 의 포함성과 엄밀히 $ p' $-적분 연산자를 통한 쌍대 공간의 표현을 이용하여, 함수형을 텐서 곱에 통합한다.
• 자연스러운 사상 $ Y^* \widehat{\otimes}_{p'} X \to \operatorname{N}_{p'}(Y,X) $ 가 포함성 없음을 이용하여, 반사 바나흐 공간을 구성함으로써 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ 가 되며, 이는 $ w^* $-위상에서 최소 폐쇄임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ p \in [1,\infty] $ 에 대해, $ \pi_p $-노름 위상 하에서 $ \operatorname{QN}_p(Y,X) $ 에서 유한 차원 연산자의 폐쇄가 전체 공간과 동일한가?
• RQ2 $ \Pi_p(Y,X) $ 에서 $ \tau_p $-위상이 볼록 집합의 폐쇄를 약한* 위상과 동일하게 만드는가?
• RQ3 바나흐 공간 $ Z $ 와 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ 를 구성할 수 있는가? 이때 어떤 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ 이지만, 모든 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ 이 되는가?
• RQ4 $ p \in [1,\infty] $ 에 대해, 반사 공간 $ X,Y $ 에 대해 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ 가 성립하는가?

주요 결과

• 모든 $ p \in [1,\infty] $, $ p \neq 2 $ 에 대해, 분리 가능하고 반사적인 바나흐 공간 $ E $ 와 기저를 가진 분리 가능 쌍대 공간 $ H $ 가 존재하여 $ \operatorname{QN}_p(H,E) \neq \overline{H^* \otimes E}^{\pi_p} $ 임을 보이며, 이는 유한 차원 연산자가 $ \operatorname{QN}_p $ 에서 밀도가 아님을 시사한다.
• 모든 $ p \in [1,\infty) $ 에 대해, 분리 가능하고 반사적인 바나흐 공간 $ X $ 와 $ Y $ 가 존재하여 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ 임을 보이며, 이는 $ \tau_p $-위상에서의 유한 차원 연산자 폐쇄가 $ w^* $-위상에서 최소임을 나타낸다.
• 텐서 원소 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ 와 연산자 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ 가 존재하여 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ 이지만, 모든 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ 이 되며, 이는 트레이스 함수가 $ \Pi_p(Z,Z) $ 의 쌍대 공간에서 0이 아닌 원소를 감지하지 못함을 증명한다.
• $ \operatorname{R} \supset Y^* \otimes X $ 인 $ (\operatorname{R}, \tau_p) $ 의 쌍대 공간은 $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ 의 몫과 동형이며, 함수형은 $ \varphi(U) = \operatorname{trace}(U \circ z) $ 로 표현된다.
• $ \Pi_p(Y,X) $ 는 $ Y^* \otimes X $ 의 $ \tau_p $-폐쇄와 동일하며, 이는 $ \tau_p $-위상이 $ \Pi_p(Y,X) $ 의 볼록 집합에 대해 올바른 폐쇄를 제공함을 확인하며, P. Saphar 가 제기한 질문에 답한다.
• $ p = \infty $ 인 경우, 모든 $ \Phi \in \operatorname{L}(Z,Z) $ 에 대해 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ 이 되는 0이 아닌 텐서 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_1 Z $ 가 존재하며, Sten Kaijser 가 제기한 질문을 해결한다.