[논문 리뷰] Approximation of Optimal Transport problems with marginal moments constraints

Aurélien Alfonsi, Rafaël Coyaud외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 14.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 40인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 시험 함수를 사용하여 엄격한 귀속 조건을 모멘트 조건으로 대체함으로써 최적 운반(OT) 문제를 근사하는 새로운 수치적 접근법을 제안한다. Tchakaloff의 정리에 기반하여, 모멘트 제약을 가진 최적 운반(MCOT) 문제의 유한한 이산 해가 존재함을 증명하며, 기본적인 경우에서 수렴 속도가 $O(1/n)$ 또는 $O(1/n^2)$임을 보이며, 기존 이산화 방법에 비해 스케일러블하고 다중귀속 및 마팅글 OT 문제에서 차원의 저주를 피할 수 있다.

ABSTRACT

Optimal Transport (OT) problems arise in a wide range of applications, from physics to economics. Getting numerical approximate solution of these problems is a challenging issue of practical importance. In this work, we investigate the relaxation of the OT problem when the marginal constraints are replaced by some moment constraints. Using Tchakaloff's theorem, we show that the Moment Constrained Optimal Transport problem (MCOT) is achieved by a finite discrete measure. Interestingly, for multimarginal OT problems, the number of points weighted by this measure scales linearly with the number of marginal laws, which is encouraging to bypass the curse of dimension. This approximation method is also relevant for Martingale OT problems. We show the convergence of the MCOT problem toward the corresponding OT problem. In some fundamental cases, we obtain rates of convergence in $O(1/n)$ or $O(1/n^2)$ where $n$ is the number of moments, which illustrates the role of the moment functions. Last, we present algorithms exploiting the fact that the MCOT is reached by a finite discrete measure and provide numerical examples of approximations.

연구 동기 및 목표

• 고차원 최적 운반 문제의 계산 불가능성을 해결하기 위해, 특히 다중귀속 및 마팅글 제약이 있는 설정에서의 문제를 다루기 위해.
• 상태 공간의 사전 이산화 없이도 수치적 근사 방법을 개발하기 위해.
• 엄격한 귀속 조건을 잘 선택된 시험 함수에 대한 모멘트 조건으로 대체하여 유한 차원 최적화를 가능하게 하기 위해.
• 모멘트 제약을 가진 최적 운반(MCOT) 문제의 원래 OT 문제로의 이론적 수렴을 확립하기 위해.
• 실제 수치적 구현을 위한 알고리즘을 개발하기 위해, MCOT 해의 유한한 이산 구조를 활용하기 위해.

제안 방법

• 원래 OT 문제의 귀속 조건을 유계 시험 함수 $\phi_i$ 및 $\phi_j$ 를 사용한 모멘트 조건으로 대체한다.
• Tchakaloff의 정리를 적용하여, MCOT 문제의 해가 최대 $N+1$개의 원소를 가진 유한한 이산 측도로 달성됨을 증명한다. 여기서 $N$은 모멘트 조건의 수이다.
• 누적분포함수를 이산점 $m/N$에서 일치시켜 확률 측도 $\mu$의 이산 근사를 구성함으로써, 모멘트 일致성과 분포 일치성을 확보한다.
• MCOT 해가 이산 측도임을 이용하여 문제를 유한 차원 최적화로 환원함으로써, 다중귀속 OT에서의 차원의 저주를 피한다.
• 유계 밀도 가정을 활용하여 원래 측도와 근사 측도의 누적분포함수를 비교함으로써 수렴 속도를 유도한다.
• MCOT 해의 이산 구조를 기반으로 한 수치 알고리즘을 설계하여, 선형 프로그래밍 또는 반복 해법을 통한 효율적 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반 문제는 귀속 조건을 모멘트 조건으로 완화함으로써 유한 차원 해를 갖는 근사로 가능할 수 있는가?
• RQ2 모멘트 제약을 가진 최적 운반(MCOT) 문제의 원래 OT 문제로의 수렴 속도는 모멘트 수가 증가함에 따라 어떻게 되는가?
• RQ3 MCOT 수식은 금융 OT 문제에서 마팅글 제약과 같은 구조적 성질을 유지하는가?
• RQ4 다중귀속 OT 문제에서 최적 MCOT 해의 원소 수는 귀속 법칙의 수와 어떻게 비례하는가?
• RQ5 MCOT 프레임워크는 효율적으로 수치적으로 구현 가능한가? 그리고 기존 이산화 방법에 비해 어떤 계산적 이점이 있는가?

주요 결과

• Tchakaloff의 정리에 기반하여, 모멘트 제약 조건의 수가 $N$일 때, MCOT 문제의 해는 최대 $N+1$개의 원소를 가진 유한한 이산 측도로 달성된다.
• 다중귀속 OT 문제에서, MCOT 해의 원소 수는 귀속 법칙의 수와 선형적으로 비례하여, 차원의 저주를 완화시킨다.
• 모멘트 수 $n$이 증가함에 따라 MCOT 해는 원래 OT 해로 수렴하며, 기본적인 경우에서 수렴 속도는 $O(1/n)$ 또는 $O(1/n^2)$이다.
• 기저 측도의 밀도가 유계일 경우, 누적분포함수의 근사 오차는 $\frac{\|\rho_\mu\|_\infty}{6N^3}$ 이하로 유계지며, 매끄러운 밀도에서는 높은 정확도를 보장한다.
• MCOT 프레임워크는 유한한 이산 구조를 활용한 수치 알고리즘을 가능하게 하여, 기존 이산화 방법과 엔트로피 정규화에 비해 스케일러블한 대안을 제공한다.
• 구간 $[0,1]$ 위의 균일 분포의 경우, 구성된 근사 $\hat{\mu}^N$은 $m/N$에서 누적분포함수를 정확히 일치시키며, $\int_{T^N_m} F_{\hat{\mu}^N} = \int_{T^N_m} F_\mu$ 를 만족함으로써, 모멘트와 분포의 충실도를 확보한다.