[논문 리뷰] Approximation of parametrized kernels arising in nonlocal and fractional Laplace models

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 20.

Numerical methods in engineering인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비국소성의 정도 δ(비국소적 영역)와 분수계수 s에 따라 변화하는 커널을 갖는 매개변수화된 비국소 및 분수계 라플라스 문제에 대한 축소 기저 방법을 개발한다. 정칙성 및 미분 가능성 결과를 도출함으로써 국소 다항식을 통한 약간의 근사화를 구성하고, 신뢰할 수 있는 후행 오차 추정기를 제공함으로써 매개변수 변화에 걸쳐 효율적이고 신뢰할 수 있는 해 근사가 가능해진다.

ABSTRACT

We consider parametrized problems driven by spatially nonlocal integral operators with parameter-dependent kernels. In particular, kernels with varying nonlocal interaction radius $\delta > 0$ and fractional Laplace kernels, parametrized by the fractional power $s\in(0,1)$, are studied. In order to provide an efficient and reliable approximation of the solution for different values of the parameters, we develop the reduced basis method as a parametric model order reduction approach. Major difficulties arise since the kernels are not affine in the parameters, singular, and discontinuous. Moreover, the spatial regularity of the solutions depends on the varying fractional power $s$. To address this, we derive regularity and differentiability results with respect to $\delta$ and $s$, which are of independent interest for other applications such as optimization and parameter identification. We then use these results to construct affine approximations of the kernels by local polynomials. Finally, we certify the method by providing reliable a posteriori error estimators, which account for all approximation errors, and support the theoretical findings by numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 매개변수에 의존하는 커널을 갖는 효율적인 매개변수화된 비국소 및 분수계 라플라스 문제를 해결하는 데 도전한다.
• 축소 기저 프레임워크에서 비약간, 특이, 비연속적 커널로 인해 발생하는 곤경을 해결한다.
• 이론적 및 계산적 이점에 기여하기 위해 δ 및 s에 대한 해의 정칙성 및 미분 가능성 성질을 확립한다.
• 국소 다항식 전개를 통해 비약간 커널의 약간 근사 표현을 구성한다.
• 축소 기저 프레임워크 내 모든 근사 오차를 고려한 신뢰할 수 있는 후행 오차 추정기를 제공한다.

제안 방법

• 후속 근사화를 가능하게 하기 위해 매개변수 δ 및 s에 대한 해의 정칙성 및 미분 가능성 결과를 도출한다.
• 비약간 구조를 갖는 커널을 약간의 매개변수 형태로 표현하기 위해 국소 다항식 근사를 구성한다.
• 다양한 매개변수 값에서의 해를 효율적으로 평가하기 위해 축소 기저 방법을 적용하여 저차원 모델을 생성한다.
• 해의 매개변수 다양체를 가장 잘 대표하는 온라인 스텝에서의 샘플을 선택하기 위해 게리 알고리즘을 적용한다.
• 축소 기저 오차 및 커널 근사 오차를 모두 고려한 신뢰할 수 있는 후행 오차 추정기를 개발한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴성 및 신뢰성 결과를 지지하는 방법의 성능을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 및 분수계 라플라스 문제에서 비약간, 특이, 비연속적 커널을 모델 차원 축소를 위해 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 해는 매개변수 δ 및 s에 대해 어떤 정칙성 및 미분 가능성 성질을 보이며, 이를 어떻게 계산적으로 활용할 수 있는가?
• RQ3 국소 다항식을 통한 커널의 약간 근사화가 신뢰할 수 있고 효율적인 축소 기저 해를 가능하게 하는가?
• RQ4 이러한 문제에 대해 축소 기저 프레임워크 내 모든 오차 원인을 고려한 후행 오차 추정기를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법의 경험적 성능은 δ 및 s의 변화에 따라 정확성과 효율성 측면에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 해는 δ 및 s에 대해 충분한 정칙성과 미분 가능성을 보이며, 이는 효과적인 근사화 및 모델 차원 축소를 가능하게 한다.
• 비약간의 커널에 대해 국소 다항식 근사를 통해 효과적인 약간의 매개변수 표현이 달성된다.
• 축소 기저 방법은 새로운 매개변수 값에 대해 높은 정확도로 빠른 해 평가를 가능하게 한다.
• 후행 오차 추정기는 축소 기저 오차 및 커널 근사 오차를 포함한 총 오차를 효과적으로 제한한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 확인하고, 매개변수 범위 전반에서 방법의 효율성과 강건성을 입증한다.