[논문 리뷰] Approximation of quasi-stationary distributions for 1-dimensional killed diffusions with unbounded drifts

Denis Villemonais|ArXiv.org|2009. 05. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 정지되는 일차원 Itô 확산에서 비정상 분포(Quasi-Stationary Distributions, QSDs)를 시뮬레이션 기반 방법으로 근사하는 방법을 제시한다. 비유계 이완을 갖는 확산을 유계 간격으로 제한하고, 이완이 유계인 경우에 대해 플레밍-비엇 유형의 상호작용 입자 시스템을 적용함으로써, Yaglom 극한의 수치 근사를 가능하게 하였으며, 로지스틱 펠러 및 라이트-파이저 확산 모델에 대한 시뮬레이션을 통해 검증하였다.

ABSTRACT

The long time behavior of an absorbed Markov process is well described by the limiting distribution of the process conditioned to not be killed when it is observed. Our aim is to give an approximation's method of this limit, when the process is a 1-dimensional Itô diffusion whose drift is allowed to explode at the boundary. In a first step, we show how to restrict the study to the case of a diffusion with values in a bounded interval and whose drift is bounded. In a second step, we show an approximation method of the limiting conditional distribution of such diffusions, based on a Fleming-Viot type interacting particle system. We end the paper with two numerical applications : to the logistic Feller diffusion and to the Wright-Fisher diffusion with values in $]0,1[$ conditioned to be killed at 0.

연구 동기 및 목표

• 경계에서 정지되는 비유계 이완을 갖는 일차원 확산에서 비정상 분포(QSDs)에 대한 수치적으로 실현 가능한 근사 방법을 개발하기 위해.
• 이완이 비유계일 경우 기존의 상호작용 입자 시스템이 잘 정의되지 않을 수 있는 문제를 다루기 위해.
• 유계 근사의 QSDs가 원래 비유계 이완 확산의 진짜 QSD로 수렴하는 조건을 설정하기 위해.
• 스펙트럼 이론 방법이 명시적 값을 도출하지 못하는 경우에 비정상 분포를 계산하기 위한 실용적이고 시뮬레이션 가능한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 원래의 비유계 이완 확산을 (0, ∞)에서 ε > 0에 대해 (ε, 1/ε)에서 유계 이완을 갖는 확산으로 근사함으로써, 잘 정의된 상태를 확보한다.
• 각 ε > 0에 대해, N개의 입자를 갖는 플레밍-비엇 유형의 상호작용 입자 시스템을 사용하여 유계 확산의 QSD νε를 근사한다.
• 각 입자는 (ε, 1/ε)에서 확산 운동을 하다가 흡수될 때까지 진동하며, 흡수 시, 생존 중인 랜덤한 입자 위치로 점프한다.
• 입자 시스템의 경험 측도는 N → ∞일 때 νε로 확률적으로 수렴하고, ε → 0일 때 νε는 진짜 QSD ν로 수렴한다.
• 이론적 수렴은 이완에 대한 조건 (H1)과 (H3)을 만족함으로써 확보되며, 이는 νε의 강한 수렴성과 약한 수렴성 보장한다.
• 장시간 간격 동안 경험 측도의 시간 평균을 취함으로써 수치 근사를 계산하며, 이는 에르고딕 정리의 활용이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점에서 정지되는 비유계 이완을 갖는 일차원 확산에서 비정상 분포를 근사할 수 있는가?
• RQ2 유계 간격에서의 QSD 시퀀스 νε가 비유계 이완 확산의 진짜 QSD로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이완이 비유계일 경우 플레밍-비엇 유형의 상호작용 입자 시스템이 QSD 근사를 위해 잘 정의되고 효과적인가?
• RQ4 스펙트럼 방법이 명시적 표현을 도출하지 못하는 경우 Yaglom 극한을 어떻게 수치적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 이완 매개변수의 변화가 비정상 분포의 형태와 정의역에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 비유계 이완을 갖는 로지스틱 펠러 확산의 QSD는 제안된 입자 시스템을 통해 성공적으로 근사되었으며, 이는 제곱 이완 계수 c를 증가시킬수록 QSD의 정의역이 0에 더 가까워지는 것으로 나타났다.
• 라이트-파이저 확산의 경우, 입자 시스템 근사는 알려진 해석적 QSD 밀도 2−2x와 매우 유사하여, 이 방법의 정확성을 확인하였다.
• N개의 입자 시스템의 경험 측도는 N → ∞일 때 νε로 수렴하고, ε → 0일 때 νε → ν로 수렴하여, 이 방법의 이론적 타당성을 입증하였다.
• 조건 (H1)과 (H3)을 만족하는 한, 경계에서 이완이 폭발하더라도 이 방법은 여전히 효과적이다.
• ε = 0.001 및 N = 1000으로 설정한 수치 시뮬레이션은 한계 QSD에 대해 안정적이고 정확한 근사를 제공하였으며, 실용적 실현 가능성은 입증되었다.
• 시간 평균 시뮬레이션을 통한 경험 측도의 수렴은 입자 시스템의 에르고딕 행동을 확인하였으며, 진짜 QSD로의 수렴을 검증하였다.