[논문 리뷰] Approximation of random diffusion equation by nonlocal diffusion equation in free boundary problems of one space dimension

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 12.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일차원 공간에서 비국소 확산 방정식의 해가 자유 경계를 가진 고전적 국소 확산 방정식의 해로 수렴함을 확립한다. 적절히 구성된 상한 및 하한 해와 커널 스케일링 $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$를 사용하여, 커널 $J$에 대한 적절한 정규성 및 컴팩트 스포트 조건 하에서 오차가 $O(\epsilon^{\gamma})$로 감소함을 증명한다. 이 결과는 기존의 고정 도메인 근사 결과를 더 복잡한 자유 경계 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We show how the Stefan type free boundary problem with random diffusion in one space dimension can be approximated by the corresponding free boundary problem with nonlocal diffusion. The approximation problem is a slightly modified version of the nonlocal diffusion problem with free boundaries considered in [4,8]. The proof relies on the introduction of several auxiliary free boundary problems and constructions of delicate upper and lower solutions for these problems. As usual, the approximation is achieved by choosing the kernel function in the nonlocal diffusion term of the form $J_ε(x)=\frac 1εJ(\frac xε)$ for small $ε>0$, where $J(x)$ has compact support. We also give an estimate of the error term of the approximation by some positive power of $ε$.

연구 동기 및 목표

• 일차원 공간에서 국소(랜덤) 확산을 갖는 스테파르 유형의 자유 경계 문제를 비국소 확산 모델로 근사하는 것.
• 기존의 고정 도메인 문제에서의 수렴 결과를 시간에 따라 변화하는 도메인을 갖는 더 복잡한 자유 경계 설정으로 확장하는 것.
• 적절한 정규성 및 커널 조건 하에서 비국소 모델과 국소 모델의 해 사이의 수렴 속도를 정량화하는 것.
• 보조 자유 경계 문제를 구성하고 미세하게 조정된 상한 및 하한 해를 사용하여 역학과 경계 진화를 제어하는 것.

제안 방법

• 커널 $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$를 갖는 비국소 확산 연산자를 도입하며, 여기서 $J$는 컴팩트 스포트를 가지며 $\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$, $J(0) > 0$, $J$는 짝수 함수임을 만족한다.
• 비교 함수로 사용하기 위해 경계 역학을 수정한 보조 자유 경계 문제를 구성한다.
• 경계 이동을 제어하고 비교 원리 적용 가능성을 보장하기 위해 편미분 항 $\epsilon M(\frac{x - \underline{g}_\epsilon(t)}{\epsilon})$를 포함한 상한 및 하한 해를 사용한다.
• 비교 원리를 적용하여 소형 $\epsilon > 0$ 에 대해 $u_\epsilon \geq v_\epsilon$ 및 $g_\epsilon \leq \underline{g}_\epsilon$, $h_\epsilon \geq \underline{h}_\epsilon$ 를 도출하고, $\epsilon \to 0$ 일 때 수렴을 이끌어낸다.
• 비국소 연산자와 국소 연산자 간의 차이를 분석하여 오차 추정치를 유도하며, $C_* = \left[\int_0^1 J(z)z^2 dz\right]^{-1}$ 를 통해 $J$의 두 번째 모멘트를 활용한다.
• 보조 해의 균일 수렴을 이용한 극한 추론을 통해 비국소 해가 $\epsilon \to 0$ 일 때 국소 해로 수렴함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 확산을 갖는 자유 경계 문제의 해는 일차원 공간에서 해당 비국소 확산 모델로 근사될 수 있는가?
• RQ2 커널 스케일링 파라미터 $\epsilon \to 0$ 일 때 비국소 해와 국소 해 사이의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 비국소 문제의 경계 역학은 어떻게 제어되어야 하며, 이는 국소 문제의 경계 진화로의 수렴을 보장하는가?
• RQ4 커널 $J$와 초기 자료에 대해 어떤 조건이 비국소 해가 유한 시간 간격에서 균일하게 국소 해로 수렴하는가?
• RQ5 정밀하게 구성된 상한 및 하한 해를 통해 비교 원리는 비국소 자유 경계 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비국소 자유 경계 문제의 해 $u_\epsilon$ 는 임의의 유한 시간 간격 $[0,T]$ 에서 $\epsilon \to 0$ 일 때 국소 자유 경계 문제의 해 $v$ 로 균일 수렴한다.
• 수렴 속도는 $O(\epsilon^\gamma)$ 로 추정되며, 정확한 값은 커널과 초기 자료의 정규성에 따라 달라진다.
• 표준 가정 하에서 수렴이 성립한다: $J$ 는 컴팩트 스포트를 가지며, $J \in C^0$, $J(0) > 0$, $J$ 는 짝수 함수이며, $\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$ 이며, $f$ 는 국소 리프시츠 함수이고 $v_0 \in C^2$ 이다.
• 이 증명은 경계 속도를 수정한 보조 문제를 구성하고, 스케일된 편미분 항을 포함한 상한 및 하한 해를 사용하여 경계 이동을 제어하는 데 의존한다.
• 보조 매개변수 $\underline{\mu} > \mu$ 이면 비국소 해가 균일하게 국소 해로 수렴하지 못할 수 있음을 보였지만, 그러한 쌍 $(J,M)$ 는 아직 검증되지 않았다.
• 기존의 고정 도메인 수렴 결과를 자유 경계 케이스로 확장하여, 이 동적 설정에서 비국소 모델과 국소 모델 간의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.