[논문 리뷰] Approximation of smooth functions using Bernstein polynomials in multiple variables

Adrian Fellhauer|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 07.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다변수 함수 f ∈ C∞(ℝᵈ)에 대해, 다변수 베르슈타인 다항식을 사용하여 모든 도함수에 대해 국소적으로 균일하게 유리계수 다항식의 단일 수열로 근사가 가능하다는 것을 증명한다. 증명은 고급 집합론적 공리(예: 선택공리, 멱집합 공리)를 피하고, 기본적인 해석학과 모순에 기반하여 이루어지며, 고전적인 단변수 수렴을 다변수에서 모든 도함수 수렴으로 확장한다.

ABSTRACT

In this survey, we use (more or less) elementary means to establish the well-known result that for any given smooth multivariate function, the respective multivariate Bernstein polynomials converge to that function in all derivatives on each compact set. We then go on to strengthen that result to obtain that any smooth function on $\mathbb R^d$ may be approximated locally uniformly in all derivatives by \emph{one} sequence of polynomials. We will use neither the axiom of choice nor the power set axiom. We will use the method of proof by contradiction.

연구 동기 및 목표

• ℝᵈ 위의 부드러운 함수가 컴팩트 집합에서 모든 도함수에 대해 다항식으로 근사될 수 있음을 증명하는 것.
• 웨이어슈트라스 근사 정리의 확률적 증명을 다변수 함수로 확장하여 도함수 수렴을 확보하는 것.
• 부드러운 함수와 그 모든 도함수로 국소적으로 균일하게 수렴하는 단일 유리계수 다항식 수열을 구성하는 것.
• 증명에서 강력한 집합론적 공리(예: 선택공리, 멱집합 공리)에 의존하지 않는 것.
• 확률적 형식주의를 배제하고, 모순과 보간 기법을 사용한 구성적이고 기본적인 해석학적 증명을 제시하는 것

제안 방법

• 다중지표 표기법을 사용하여 단일변수 베르슈타인 다항식을 [0,1]ᵈ 위의 다변수 함수로 일반화하는 것.
• 다중지표 차수에 대한 귀납법을 통해 다변수 베르슈타인 다항식의 점별 수렴을 함수와 그 도함수로 증명하는 것.
• 모순에 기반한 도함수 수렴 증명: 수렴 실패를 가정하고 컴팩트성과 연속성에 의해 모순을 도출하는 것.
• 삼각부등식을 적용하여 함수의 도함수와 그 베르슈타인 근사의 도함수 간 차이를 유계로 제한하는 것.
• 동형변환(h(x) = 2nx − n)을 적용하여 [0,1]ᵈ에서의 수렴을 임의의 컴팩트 집합 [-n,n]ᵈ로 확장하는 것.
• 균일한 가까움과 노름 유계성에 기반하여 실계수 베르슈타인 다항식을 유리계수 다항식으로 근사하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝᵈ 위의 부드러운 함수가 모든 컴팩트 부분집합에서 모든 도함수에 대해 단일 수열의 다항식으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 다변수 베르슈타인 다항식은 컴팩트 집합에서 함수와 모든 도함수로 균일하게 수렴하는가?
• RQ3 유리계수 다항식만을 사용하여 근사화를 달성하면서 도함수 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ4 확률적 도구나 강력한 집합론적 공리를 사용하지 않고도 다변수 도함수 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ5 기본적인 해석학과 모순만을 사용하여 도함수 수렴을 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 부드러운 함수 f ∈ C∞(ℝᵈ)에 대해, 다변수 베르슈타인 다항식은 ℝᵈ의 모든 컴팩트 부분집합에서 모든 도함수로 수렴한다.
• 모든 도함수에 대해 국소적으로 균일한 수렴이 성립하며, 이는 ∂βf와 ∂βpₙ의 차이의 상한 노름이 컴팩트 집합에서 0으로 수렴한다는 뜻이다.
• 모든 β ≤ γ에 대해 ∂βqₙ → ∂βf가 국소적으로 균일하게 수렴하는 단일 유리계수 다항식 수열 (qₙ)이 존재한다. 여기서 f ∈ Cγ(ℝᵈ).
• 증명은 선택공리와 멱집합 공리를 회피하며, 오직 기본적인 해석학과 모순에 기반한다.
• 각 n에 대해 동형변환 h(x) = 2nx − n을 적용하여 [0,1]ᵈ에서의 수렴을 [-n,n]ᵈ로 확장할 수 있다.
• 베르슈타인 다항식의 유리수 근사에서 도함수 간 차이가 ϵ|α|α! 이하로 유계가 되도록 구성되며, 이는 균일한 제어를 보장한다.