[논문 리뷰] Approximation of stochastic processes by non-expansive flows and coming down from infinity

Vincent Bansaye|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비확장성 흐름을 사용하여 고차원 확률과정에 대해 궤적 기반 근사법을 개발하며, 비립슐츠 드리프트에 대해서도 균일한 추정을 가능하게 한다. 마르팅게일 기법과 포인카레 컴actsification을 활용하여, 공착합 및 인구 모델에서 핵심적인 특징인 '무한대에서 수렴' 현상이 발생할 조건을 규명한다. 이는 $\backslashLambda$-공착합 및 경쟁적 로트카-볼테라 확산 과정에 응용된다.

ABSTRACT

We approximate stochastic processes in finite dimension by dynamical systems. We provide trajectorial estimates which are uniform with respect to the initial condition for a well chosen distance. This relies on some non-expansivity property of the flow, which allows to deal with non-Lipschitz vector fields. We use the stochastic calculus and follow the martingale technics initiated in Berestycki and al [5] to control the fluctuations. Our main applications deal with the short time behavior of stochastic processes starting from large initial values. We state general properties on the coming down from infinity of one-dimensional SDEs, with a focus on stochastically monotone processes. In particular, we recover and complement known results on Lambda-coalescent and birth and death processes. Moreover, using Poincar{\\'e}'s compactification technicsfor dynamical systems close to infinity, we develop this approach in two dimensions for competitive stochastic models. We classify the coming down from infinity of Lotka-Volterra diffusions and provide uniform estimates for the scaling limits of competitive birth and death processes.

연구 동기 및 목표

• 마르팅게일에 의해 흐트러진 확률과정에 대해 비립슐츠 드리프트일지라도 궤적 기반으로 균일한 추정을 제공하는 것.
• 일차 및 이차 차원 확률과정에서의 '무한대에서 수렴' 현상 분석, 특히 인구 모델에서의 응용.
• 포incare 컴actsification과 콘에서의 비확장성에 기반하여 경쟁적 확률시스템의 근사 기법을 확장하는 것.
• 대규모 초기값 조건에서의 균일 추정을 통해 경쟁적 생식 및 사망 과정의 척도 한계를 유도하는 것.
• $\backslashLambda$-공착합과 펠러 확산 과정에 대한 결과를 비확장성 프레임워크를 통해 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• $(L,\alpha)$-비확장성 벡터장의 정의를 사용하여 궤적의 분리 정도를 제어: $(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq L\|x-y\|_2^2 + \alpha\|x-y\|_2$.
• 다양체 $D$ 에서의 출구 시간과 결정론적 흐름에서의 편차를 제어하기 위해 $C^2$-연속 함수 $F$ 를 사용한 거리 $d(x,y) = \|F(x) - F(y)\|_2$ 를 적용하여 확률적 해석학과 마르팅게일 기반의 변동 제어를 가능하게 한다.
• 그론발드 유형 부등식과 정지시간 $T_D(x_0)$ 를 사용하여 도메인 $D$ 외부로의 출구 시간을 유계로 제어하고 결정론적 흐름에서의 편차를 제어한다.
• 이차 차원 경쟁 시스템에서의 무한대 근처 행동 분석을 위해 포incare의 방법을 활용한 컴actsification 기법을 도입한다.
• 비립슐츠 벡터장 처리를 위해 절단된 드리프트 $\psi^K$ 와 리프슐츠 근사값을 사용하면서도 비확장성 성질을 유지한다.
• 논문 [6] 에서 제시된 마르팅게일 기법을 적용하여 변동을 제어하고 흐름에서의 편차에 대한 균일한 확률적 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차 차원 SDE가 큰 초기값에서 시작할 때, 어떤 조건에서 '무한대에서 수렴'하는가?
• RQ2 비확장성 흐름을 어떻게 사용하여 확률과정이 결정론적 대응과의 편차를 균일하게 제어할 수 있는가?
• RQ3 경쟁적 생식 및 사망 과정의 척도 한계는 무엇이며, 대규모 초기값 조건에서 어떻게 균일하게 근사할 수 있는가?
• RQ4 포incare 컴actsification는 이차 차원 경쟁 확산 과정이 무한대 근처에서 행동을 분석하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 비확장성 프레임워크는 확산 및 점프 성분을 포함한 비립슐츠 벡터장이 있는 확률과정으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 과정이 결정론적 흐름으로부터 $\varepsilon$ 이상 벗어나는 확률은 $C_T \int_0^T \overline{V}_{d,\varepsilon}(x_0,t)\,dt$ 이하로 유계이며, 초기 조건 $x_0 \in D$ 에 대해 일관되게 유지된다.
• 논문은 $T_D^K(x_1) \geq T_{D,\varepsilon}(x_0)$ 와 $\|\phi(x_0,t) - \phi^K(x_1,t)\|_2 \leq \frac{\max(M,\eta)\exp((L+M)T)}{K}$ 를 증명하며, $K$ 가 충분히 클 경우 절단에 의한 안정성을 보장한다.
• 벡터장이 $B(0,A)^c$ 에서 $(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq -\mu\|x\|_2\|x-y\|_2^2$ 를 만족할 경우, 시스템은 유한 상태로의 강한 흡인성을 보이며, 이는 '무한대에서 수렴'을 가능하게 한다.
• 이 방법은 기존 $\backslashLambda$-공착합 및 생식-사망 과정에 대한 결과를 복원하고 확장하며, 블록 수의 로그 수준이 제어 가능한 속도로 무한대에서 수렴함을 보여준다.
• 이차 차원 경쟁적 로트카-볼테라 확산 과정에 대해선, '무한대에서 수렴' 행동을 분류하고 척도 한계에 대한 균일한 단시간 추정을 도출한다.
• F-변환된 거리와 $C^2$-연속 함수의 사용은 이토의 공식과 마르팅게일 부등식을 통해 변동의 정밀한 제어를 가능하게 한다.