[논문 리뷰] Approximation of Stochastic Volterra Equations with kernels of completely monotone type

Aurélien Alfonsi, Ahmed Kebaier|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 26.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 완전 감소하는 커널을 포함한 고차원 스토하스틱 볼테라 방정식(SVEs)을 근사하기 위해 다요인 오일러 스킴을 제안한다. 이는 허스트 매개수 H ∈ (0, 1/2)를 가진 특이 분수 커널을 포함한다. 커널 근사에 기반한 마코비안 표현을 활용함으로써, 균일한 강한 수렴성과 높은 계산 효율성을 확보한 오일러 이산화 방법을 가능하게 하여, 난이도 높은 허스턴 모델에서의 옵션 가격 설정에서 기존의 SVE 오일러 스킴보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

In this work, we develop a multifactor approximation for $d$-dimensional Stochastic Volterra Equations (SVE) with Lipschitz coefficients and kernels of completely monotone type that may be singular. First, we prove an $L^2$-estimation between two SVEs with different kernels, which provides a quantification of the error between the SVE and any multifactor Stochastic Differential Equation (SDE) approximation. For the particular rough kernel case with Hurst parameter lying in $(0,1/2)$, we propose various approximating multifactor kernels, state their rates of convergence and illustrate their efficiency for the rough Bergomi model. Second, we study a Euler discretization of the multifactor SDE and establish a convergence result towards the SVE that is uniform with respect to the approximating multifactor kernels. These obtained results lead us to build a new multifactor Euler scheme that reduces significantly the computational cost in an asymptotic way compared to the Euler scheme for SVEs. Finally, we show that our multifactor Euler scheme outperforms the Euler scheme for SVEs for option pricing in the rough Heston model.

연구 동기 및 목표

• 리프시츠 계수와 완전 감소하는 커널(특히 특이 분수 커널 포함)을 가진 d차원 SVEs를 위한 다요인 근사법을 개발한다.
• 다른 커널을 가진 SVEs 간의 L²-추정을 수립하여 원래 SVE와 그 다요인 SDE 근사 간의 오차를 정량화한다.
• 직접 SVE 오일러 스킴에 비해 점점 감소하는 계산 비용을 갖는 새로운 다요인 오일러 스킴을 설계한다.
• 난이도 높은 허스턴 모델에서의 옵션 가격 설정에 대해 수치 실험을 통해 스킴의 우수성을 입증한다.

제안 방법

• SVE 커널을 [0, K]에서의 절단되고 이산화된 측도를 통해 지수 함수의 합으로 근사함으로써, 비마코비안 SVE를 고차원 마코비안 SDE로 변환한다.
• 다른 커널을 가진 SVEs 간의 L²-추정을 유도하여 다요인 근사에 대한 비점근적 오차 한계를 제공한다.
• 균일한 격자에서 N개의 시간 스텝을 사용하여 유도된 다요인 SDE에 오일러 이산화를 적용하고, 근사 커널에 대해 균일한 수렴성을 증명한다.
• 분수 커널을 지수 함수의 합으로 근사함으로써 난이도 높은 버그미 모델과 난이도 높은 허스턴 모델에 대한 다요인 오일러 스킴을 구성한다.
• 통합 변동성과 변동성 과정에 대해 동일한 이산화 스킴을 사용함으로써 일관되고 효율적인 몬테카를로 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 다요인 근사의 마코비안 구조를 활용하여 분산 감소 및 다수준 몬테카를로 기법을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 감소하는 커널을 가진 원래 SVE에 대해 다요인 SDE 근사의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 SVE와 그 다요인 근사 간의 오차는 커널 근사의 정확도와 절단 파라미터에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 다요인 오일러 스킴은 근사 커널에 대해 균일한 수렴성을 확보할 수 있으며, 그 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 시간 스텝이 감소함에 따라 다요인 오일러 스킴의 계산 비용은 직접 SVE 오일러 스킴에 비해 어떻게 변화하는가?
• RQ5 난이도 높은 변동성 모델(예: 난이도 높은 허스턴)에서 다요인 스킴은 표준 SVE 오일러 스킴보다 옵션 가격 설정에서 뛰어난 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 다요인 오일러 스킴은 근사 커널에 대해 균일한 강한 수렴성을 확보하여 다양한 커널 근사에 대해 강건함을 보인다.
• H ≈ 0.1인 난이도 높은 커널의 경우, 다요인 근사의 주요 오차는 커널 근사 자체가 아니라 원래 SVE에 기인하므로, 더粗略한 커널 근사가 가능하다.
• 직접 SVE 오일러 스킴에 비해 다요인 오일러 스킴은 점점 감소하는 계산 비용을 갖는다. N이 증가함에 따라 계산 시간이 훨씬 더 잘 스케일링된다.
• 수치 결과에 따르면, 다요인 스킴은 유럽형 및 룩백 옵션의 가격을 SVE 오일러 스킴과 유사하게 산출하지만, 계산 시간은 훨씬 적게 소요된다.
• N = 320일 때, 룩백 옵션 가격 설정에 다요인 스킴은 775초가 소요되었고, SVE 오일러 스킴은 3130초가 소요되어 4배의 속도 향상을 보였다.