[논문 리뷰] Approximation of the invariant measure with an Euler scheme for Stochastic PDE's driven by Space-Time White Noise

Charles-Édouard Bréhier|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 85

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 확률편미분방정식의 불변 측도에 대한 반명시적 오일러 스킴의 약한 수렴을 확립한다. 유계 비선형성과 소산성 조건 하에서, 임의의 $0 < \kappa < 1/2$에 대해 $Π_b^2$ 시험 함수(유계 도함수를 가짐)에 대해 시간에 관계없이 일관되게 약한 순서 $1/2 - \kappa$로 수치적 스킴이 불변 측도를 근사함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we consider a stochastic PDE of parabolic type, driven by a space-time white-noise, and its numerical discretization in time with a semi-implicit Euler scheme. When the nonlinearity is assumed to be bounded, then a dissipativity assumption is satisfied, which ensures that the SDPE admits a unique invariant probability measure, which is ergodic and strongly mixing - with exponential convergence to equilibrium. Considering test functions of class $\\mathcal{C}^2$, bounded and with bounded derivatives, we prove that we can approximate this invariant measure using the numerical scheme, with order 1/2 with respect to the time step.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 확률편미분방정식의 불변 확률측도를 시간 이산화된 수치적 스킴을 사용하여 근사화하는 것.
• 오일러 스킴의 약한 수렴 오차가 최종 시간 $T = m\tau \to \infty$로 갈수록 유계로 유지되는지 여부를 조사하는 것. 이를 통해 불변 측도를 근사할 수 있는지 확인하는 것.
• 유한시간 SDE에 대한 약한 수렴 결과를 에르고딕하고 강하게 혼합되는 동역학을 갖는 무한시간 SPDE로 확장하는 것.
• 최종 시간 $T$에 의존하지 않는 오차 한계를 유도하여, 불변 측도로의 일관된 수렴을 보장하는 것.
• 공간-시간 백색 잡음이 있는 무한차원, 에르고딕 SPDE의 맥락에서 수치적 스킴의 수렴 속도를 분석하는 것.

제안 방법

• Hilbert 공간 $H = L^2(0,1)$에서 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 추상적 확률진동방정식으로 SPDE를 기술한다.
• 시간 간격 $\tau$를 갖는 반명시적 오일러 스킴을 적용하여, 공간 이산화 없이 SPDE의 구조를 유지한다.
• SPDE와 관련된 콜모고로프 방정식을 사용하여, 생성자와 그 시험 함수 위에서의 작용을 통해 약한 수렴을 분석한다.
• 추상 위너 공간에서의 부분적 적분 공식을 사용하여 콜모고로프 방정식의 해에서 오차를 추정한다.
• 연산자 $(-B)^{-\alpha}$를 포함하는 스펙트럼 추정을 적용하여, 반군과 그 도함수의 정규성과 감쇠를 제어한다.
• 시간 정규화와 오차를 여러 항($a_k, b_k, c_k$)으로 분해하여 $m$과 $\tau$에 대해 일관된 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 포물형 SPDE의 불변 측도를 반명시적 오일러 스킴이 근사할 수 있는가?
• RQ2 시간에 관계없이 일관되게, 수치적 스킴이 불변 측도로의 약한 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 최종 시간 $T = m\tau \to \infty$로 갈수록 약한 오차가 여전히 유계로 유지되는가? 이를 통해 불변 측도를 근사할 수 있는가?
• RQ4 시험 함수의 정규성과 잡음의 구조가 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 지수적 에르고딕성을 갖는 SPDE에 대해, 콜모고로프 방정식 프레임워크를 사용하여 시간에 관계없이 오차 분석을 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 유계 비선형성과 소산성 조건 하에서, 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 SPDE는 고유한, 에르고딕하고 강하게 혼합되는 불변 확률측도를 갖는다.
• 반명시적 오일러 스킴은 임의의 $0 < \kappa < 1/2$에 대해 시간에 관계없이 약한 순서 $1/2 - \kappa$로 불변 측도를 근사한다.
• 오차 경계는 $C(1 + |y|^3)\bigl((m-1)^{-1/2 + \kappa} + 1\bigr)\tau^{1/2 - \kappa}$ 형태이며, $m \to \infty$로 갈수록 일관되게 유지된다.
• 수렴 속도는 최종 시간 $T = m\tau$에 의존하지 않으며, 장시간 시뮬레이션을 통해 불변 측도를 근사할 수 있다.
• 분석은 콜모고로프 방정식의 해의 지수적 감쇠와 생성자의 스펙트럼 성질에 기반한다.
• 오차 분해와 부분적 적분 기법을 통해, 무한차원 설정에서도 시간 단계에 걸쳐 약한 오차 항들을 일관되게 제어할 수 있다.