[논문 리뷰] Approximation properties of Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators

Vishnu Narayan Mishra, M. Mursaleen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 23.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유계가 아닌 구간에서의 근사에 일반화된 새로운 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 연산자인 Chlodowsky 변형을 제안한다. 코로브킨 유형의 근사 정리와 연속성 모듈러스 및 Ditzian-Totik 모듈러스를 이용한 수렴 속도 분석을 통해 연속 함수가 [0, ∞)에서 균일 수렴을 보임을 보여준다.

ABSTRACT

In the present paper, we introduce the Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators which is a generalization of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators. We have also discussed its approximation properties and rate of convergence.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 구간 [0, ∞)에서의 근사를 위한 새로운 Chlodowsky 유형의 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 연산자 일반화를 개발한다.
• bn → ∞ 이고 bn/[n]q → 0 를 만족하는 수열 (bn)을 사용하여 (p,q) 연산자의 적용 범위를 [0,1]에서 [0, ∞)로 확장한다.
• 연속 함수 공간에서의 [0, ∞)에서 새로운 연산자에 대한 코로브킨 유형의 근사 정리를 수립한다.
• 연속성 모듈러스와 Ditzian-Totik 모듈러스를 이용한 수렴 속도 분석을 수행한다.
• 적절한 조건 하에서 p, q 및 수열 (bn)에 대해 C1+x²[0, ∞)에 속하는 함수에 대해 균일 수렴을 보임을 보인다.

제안 방법

• bn → ∞ 이고 bn/[n]q → 0 를 만족하는 수열 (bn)과 (p,q)-정수를 사용하여 [0, bn]에서 정의된 새로운 선형 양의 연산자 Cn,m(α,β)(f;x,p,q)를 제안한다.
• 수렴 분석을 위한 E[(t−x)²] 포함 첫 네 차수의 모멘트에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 유계가 아닌 구간에서 양의 선형 연산자에 대한 코로브킨 정리를 적용하여 1, t, t²와 같은 시험 함수에 대한 수렴을 증명한다.
• 근사 오차를 추정하고 수렴 속도를 유도하기 위해 Ditzian-Totik 모듈러스의 부드러움 ω(f'; δ)를 사용한다.
• 오차 추정에서 두 번째 모멘트 항을 유계하기 위해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 정량적 수렴 결과를 이끌어낸다.
• 최적의 δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² 를 선택하여 |Cn,m(α,β)(f;x,p,q) − f(x)| ≤ M(|[n+m]p,q/[n]p,q + β − 1|A + αbn/[n]p,q + β) + ω(f'; δ)[(Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² + (1/δ)Bn,p,q(α,β)] 형태의 정량적 수렴 추정식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 연산자를 Chlodowsky 접근법을 사용하여 유계가 아닌 구간 [0, ∞)로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 새로운 Chlodowsky-(p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 연산자의 코로브킨 유형 근사 성질은 무엇인가?
• RQ3 C1+x²[0, ∞)에 속하는 함수에 대해 이러한 연산자의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 수열 (bn)의 선택이 연산자의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Ditzian-Totik 모듈러스의 부드러움은 이 새로운 유형의 연산자에 대해 정량적 수렴 추정을 도출하는 데 효과적으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 연산자의 Chlodowsky 변형은 bn → ∞ 이고 bn/[n]q → 0 를 만족하는 [0, bn]에서 정의된 선형 양의 연산자이다.
• p, q → 1 이고 m = 0 일 때, 이 연산자는 Stancu-Chlodowsky 다항식으로 간소화된다.
• 연산자의 첫 네 차수의 모멘트가 명시적으로 계산되어 수렴 분석이 가능해진다.
• 연산자는 [0, ∞)에서 시험 함수 1, t, t²에 대해 코로브킨 근사 정리를 만족한다.
• Ditzian-Totik 모듈러스의 부드러움을 사용하여 정량적 수렴 추정식이 도출되었으며, 오차는 두 번째 모멘트 Bn,p,q(α,β)와 모듈러스 ω(f'; δ)를 포함하는 항들로 유계된다.
• δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² 를 선택함으로써 최적의 수렴 속도 O((Bn,p,q(α,β))¹ᐟ²)를 달성하였으며, C1+x²[0, ∞)에 속하는 함수에 대해 균일 수렴을 보임을 입증한다.