[논문 리뷰] Approximation Properties of Locally Convex Spaces and the Problem of Uniqueness of the Trace of a Linear Operator

G. L. Litvinov|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 08.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소凸공간에서 유계 근사 성질이 모든 프리드홀름 연산자에 대해 추적의 유일성을 보장함을 입증하며, 함수해석학에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 이는 근사 성질만으로는 부족하지만, 유계 근사 성질이 존재하면 잘 정의된 추적이 보장됨을 보이며, 바나흐 공간과 국소凸공간에서의 핵연산자 및 프리드홀름 연산자에 대한 이전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the present article, it is proved that every nuclear operator in a locally convex space E has a well-defined trace if E possesses the approximation property. However, even if a space possesses the approximation property this still does not guarantee a positive solution of A. Grothendieck's uniqueness problem for this space. Below, we present an example of a quasi-complete space with the approximation property in which it is not possible to define the trace for all Fredholm operators (in the sense of A. Grothendieck). We prove that the uniqueness problem has a positive solution if E possesses the "bounded approximation property." Preliminary information and results are presented in Section 2. A number of approximation-type properties of locally convex spaces and relations between these properties are considered in Section 3. The principal results of the present study, along with certain corollaries from these results (for example, the existence of a matrix trace), may be found in Section 4.

연구 동기 및 목표

• 국소凸공간에서 선형 연산자에 대한 추적의 유일성 문제를 해결하기 위해.
• 프리드홀름 연산자의 추적이 잘 정의되고 표현에 관계없이 일관되게 유지되는 조건을 명확히 하기 위해.
• 근사 성질과 유일한 추적 존재성 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 근사 성질만으로는 추적의 유일성이 보장되지 않으며, 더 강력한 유계 근사 성질이 필요하다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 텐서곱 표현을 이용해 국소凸공간 내 프리드홀름 연산자와 핵연산자를 분석한다.
• 유계 집합 위에서의 민코프스키 함수를 포함한 그로텐디크의 이중성 프레임워크를 적용한다.
• 약한 연산자 위상 수렴과 유계 넷을 이용해 추적의 연속성을 확립한다.
• 유계 근사 성질을 추적 유일성에 대한 충분조건으로 도입한다.
• 스카우더 기저를 통한 행렬 추적 구성법을 활용해 추적 표현을 도출한다.
• 레마 5와 추론 3을 활용해 약한 연산자 위상 하에서 추적의 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소凸공간에서 프리드홀름 연산자의 추적이 어떤 조건에서 유일하게 정의되는가?
• RQ2 근사 성질만으로도 모든 프리드홀름 연산자에 대해 유일한 추적을 보장할 수 있는가?
• RQ3 유계 근사 성질이 추적 유일성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 스카우더 기저가 존재하는 공간에서 행렬 추적과 추상적 추적은 어떻게 관련되는가?
• RQ5 근사 성질을 가진 완비성에 가까운 공간이라도 여전히 유일한 추적을 지원하지 못할 수 있는가?

주요 결과

• 국소凸공간에서 모든 프리드홀름 연산자의 추적 유일성은 유계 근사 성질이 충분한 조건이다.
• 근사 성질을 가진 완비성에 가까운 국소凸공간이라도 모든 프리드홀름 연산자에 대해 잘 정의된 추적을 가지지 못할 수 있다.
• 스카우더 기저가 존재하는 공간에서는 모든 프리드홀름 연산자의 추적이 잘 정의되며, 이는 행렬 추적 $\sum_{i=1}^\infty \langle e'_i, F e_i \rangle$ 와 일치한다.
• 만일 $S(E)$ 내의 넷 $\{A_\nu\}$ 가 약하게 수렴하고 유계이면, 모든 프리드홀름 연산자 $F$ 에 대해 $\operatorname{tr}(F A_\nu) \to \operatorname{tr}(F A)$ 를 만족한다.
• 유한 랭크 연산자들의 약한 극한으로 항등원 연산자가 존재하면, 추적이 잘 정의되고 유한 차원 추적의 극한과 같다.
• 근사 성질는 있지만 유계 근사 성질가 없는 완비성에 가까운 공간이 존재함을 보여, 두 성질이 서로 다름을 입증한다.