[논문 리뷰] Approximation ratio of RePair

Danny Hucke, Artur Jeż외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 17.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바이너리 인코딩된 문자열의 가족을 사용하여 RePair 문법 기반 압축기의 근사 비율 하한을 Ω(√log n)에서 Ω(log n / log log n)으로 향상시킨다. 분석 결과 RePair의 SLP 크기는 k(여기서 k = Θ(log n))에 대해 제곱근으로 증가하는 반면, 최적의 SLP 크기는 k에 대해 선형으로 증가하므로, 특정 입력에 대해 압축 효율성의 상당한 격차가 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In a seminal paper of Charikar et al.~on the smallest grammar problem, the authors derive upper and lower bounds on the approximation ratios for several grammar-based compressors. Here we improve the lower bound for the famous {\sf RePair} algorithm from $Ω(\sqrt{\log n})$ to $Ω(\log n/\log\log n)$. The family of words used in our proof is defined over a binary alphabet, while the lower bound from Charikar et al. needs an alphabet of logarithmic size in the length of the provided words.

연구 동기 및 목표

• 문법 기반 압축을 위한 RePair 알고리즘의 근사 비율 하한에 대해 기존의 하한을 향상시키는 것.
• RePair의 성능이 최소 가능한 SLP에 비해 증명 가능하게 열 劣한 경우를 보일 수 있는 바이너리 문자열의 가족을 구성하는 것.
• 최악의 경우 RePair의 근사 비율에 대한 알려진 상한과 하한 간의 격차를 줄이는 것.
• 기존 결과가 알파벳 크기가 증가하는 것을 요구하는 데 반해, 고정된 바이너리 알파벳에서도 하한이 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 기본 문자열 B_⌈log k⌉에서 유도된 정수의 이진 표현을 사용하여 바이너리 알파벳 위의 문자열 s_k의 가족을 구성한다.
• 각 a-블록의 길이가 w_k의 접두어로부터 형성된 이진수에 해당하는 b로 분리된 a-블록의 순서로 s_k를 정의한다.
• 이진 인코딩 기반의 재귀적 비단말 기호 구조를 사용하여 s_k에 대한 최소 SLP 크기가 O(k)임을 증명한다.
• RePair가 k−1라운드 동안의 행동을 분석하여, b의 희소성으로 인해 a-블록을 독립적으로 처리함을 보인다.
• 이진 접두어의 구조를 활용하여 RePair의 시작 규칙에 길이 Θ(log k)인 서로 다른 요소가 Ω(k² / log k)개 존재함을 확립한다.
• 레마 1(요소 수 제한)을 적용하여 RePair의 시작 규칙을 위한 임의의 SLP 크기가 Ω(k² / log k)여야 함을 보이고, 최종 근사 비율을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문법 기반 압축을 위한 RePair 알고리즘의 진정한 최악의 경우 근사 비율은 무엇인가?
• RQ2 오직 바이너리 알파벳을 사용하여 RePair에 대해 Ω(log n / log log n)의 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 구조화되고 고도로 반복적인 문자열에서 RePair의 성능은 최적의 SLP 크기와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 RePair의 탐욕적 최대 다이그램 치환 전략은 특정 입력에서 최적의 SLP를 유도하지 못하는가?

주요 결과

• 구성된 문자열 s_k에 대한 최소 SLP 크기는 O(k)이며, 여기서 k = Θ(log n)이다.
• RePair는 s_k에 대해 Ω(k² / log k) 크기의 SLP를 생성한다. 이는 시작 규칙 내에서 서로 다른 요소의 증가로 인한 것이다.
• s_k에서 RePair의 근사 비율은 Ω(k / log k)이며, 이는 n 기준으로 Ω(log n / log log n)으로 변환된다.
• 하한은 RePair가 최대 다이그램만을 치환하는 제약 조건 하에서도 유지되므로 결과의 강건성을 확인한다.
• 이 구성은 기존의 하한이 n에 따라 증가하는 알파벳을 요구하는 것과는 대조적으로 오직 바이너리 알파벳만을 사용한다.
• 상한이 O((n / log n)^{2/3})이므로, RePair의 성능과 최적 SLP 간의 격차는 여전히 크다.