[논문 리뷰] Approximation Schemes for Minimizing the Maximum Lateness on a Single Machine with Release Times under Non-Availability or Deadline Constraints

Imed Kacem, Hans Kellerer|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 16.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 28인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 출시 시간이 있는 단일 머신 스케줄링 문제 네 가지에 대해 다항 시간 근사법(PTAS)을 제시한다. 이는 공통의 마감일, 비가동 구간(기계 또는 운영자 기준), 이차적 목표 함수 등의 제약 조건 하에서 최대 지각을 최소화하는 것을 목표로 한다. 저자들은 작업 분할, 전략적 시간 창 이산화, 동적 프로그래밍을 활용하여 각 변형에 대해 PTAS를 설계하였으며, 임의의 ε>0에 대해 각 문제에 대해 (1+ε)-근사 해가 다항 시간 내에 존재함을 증명하였다.

ABSTRACT

In this paper, we consider four single-machine scheduling problems with release times, with the aim of minimizing the maximum lateness. In the first problem we have a common deadline for all the jobs. The second problem looks for the Pareto frontier with respect to the two objective functions maximum lateness and makespan. The third problem is associated with a non-availability constraint. In the fourth one, the non-availibility interval is related to the operator who is organizing the execution of jobs on the machine (no job can start, and neither can complete during the operator non-availability period). For each of the four problems, we establish the existence of a polynomial time approximation scheme (PTAS).

연구 동기 및 목표

• 출시 시간과 마감일 또는 비가동 기간에 대한 제약 조건이 있는 네 가지 도전적인 단일 머신 스케줄링 문제를 다루는 것.
• 실제 운영 제약 조건(예: 정비 창구 또는 운영자 가용성) 하에서 스케줄링의 핵심 성능 지표인 최대 지각을 최소화하는 것.
• 산업 현장에서 흔한 출시 시간과 비가동을 고려하여 기존 근사 알고리즘을 확장하는 것.
• 네 가지 문제 변형 각각에 대해 PTAS의 존재를 증명하여, 임의의 ε>0에 대해 다항 시간 내에 (1+ε)-근사 해를 확보하는 것.

제안 방법

• 각 문제 변형에 대해, 특히 비가동 기간을 가로질러 작업하는 '가로질러 일하는 작업'(straddling jobs)의 타당 시작 시간 간격을 이산화함으로써 PTAS를 설계한다.
• 잠재적 가로질러 일하는 작업를 식별하고, 제한된 시간 창 내에서 그 시작 시간을 고정하기 위해 추측 전략을 사용하여 검색 공간을 축소한다.
• 각 추측된 시작 시간에 대해, 기존에 해결된 문제(예: 기계 비가동)의 등가 인스턴스로 문제를 변환하고, 이를 위해 알려진 PTAS를 적용한다.
• 가로질러 일하는 작업의 시작 시간 창은 O(1/ε)개의 하위구간으로 나누어, 근사 오차가 최적값에 비해 ε 이내로 유지되도록 보장한다.
• 최종 해는 이산화된 시간 창에서 생성된 모든 후보 해 중에서 가장 좋은 것을 선택함으로써 (1+ε)-근사 해를 보장한다.
• 이 접근법은 작업의 처리 시간이 비가동 간격을 초과하는 경우 중요하다는 구조적 통찰에 기반하며, 소수의 작업 집합에 대한 동적 프로그래밍 또는 순열을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 출시 시간이 있고 모든 작업에 공통 마감일이 있는 단일 머신 스케줄링 문제에 대해 최대 지각을 최소화하는 PTAS가 존재하는가?
• RQ2 출시 시간 조건 하에서 제작기간과 최대 지각을 모두 최소화하는 이차적 목표 문제에 대해 PTAS를 설계할 수 있는가?
• RQ3 고정된 간격 동안 작업을 처리할 수 없는 기계 비가동 간격이 있는 스케줄링 문제에 대해 PTAS가 존재하는가?
• RQ4 시작하거나 완료할 수 없는 금지 시간 간격이 있는 운영자 비가동 조건 하에서 스케줄링 문제에 대해 PTAS를 구성할 수 있는가?
• RQ5 비가동 기간을 가로질러 작업이 포함되는 경우, 제약을 위반하지 않도록 근사 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 출시 시간과 공통 마감일이 있는 단일 머신 스케줄링 문제에 대해 (1+ε)-근사 해가 임의의 ε>0에 대해 다항 시간 내에 존재하는 PTAS가 존재한다.
• 출시 시간 조건 하에서 제작기간과 최대 지각을 모두 최소화하는 이차적 목표 문제에 대해 PTAS가 확립되어, 트레이드오프 분석이 가능해진다.
• 기계 비가동 간격이 있는 경우, 문제를 등가 인스턴스로 변환하고 시간 이산화를 사용함으로써 PTAS를 구성한다.
• 작업이 금지 시간 간격 동안 시작하거나 완료될 수 없는 운영자 비가동 조건 하에서는, 가로질러 일하는 작업에 초점을 맞추고 시작 시간 창을 이산화함으로써 PTAS를 개발한다.
• 모든 네 가지 문제 변형에 대해 근사 방법이 (1+ε)-근사 해를 달성하며, 입력 크기와 1/ε에 대해 다항 시간 내에 실행된다.
• 기존 비가동 스케줄링 연구를 확장하여 출시 시간을 통합하고, 이전에 열려 있던 문제에 대해 PTAS 존재성을 증명하였다.