[논문 리뷰] Approximation schemes for mixed optimal stopping and control problems with nonlinear expectations and jumps

Roxana Dumitrescu, Christoph Reisinger외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 활동 점프를 동반한 비선형 기대값 하에서 혼합 최적 정지 및 최적 제어 문제를 위한 새로운 수치적 스킴을 제안한다. 조각별로 일정한 정책 시간스텝(PCMPT)과 확산 및 비국소 항에 대한 완전히 암시적 단조 스킴을 조합하고, 기울기 비선형성에 대해 Lax-Friedrichs 스킴을 사용함으로써, 수렴성을 보장하고 결과적으로 스위칭 시스템의 해 존재성에 대한 구조적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We propose a class of numerical schemes for mixed optimal stopping and control of processes with infinite activity jumps and where the objective is evaluated by a nonlinear expectation. Exploiting an approximation by switching systems, piecewise constant policy timestepping reduces the problem to nonlocal semi-linear equations with different control parameters, uncoupled over individual time steps, which we solve by fully implicit monotone approximations to the controlled diffusion and the nonlocal term, and specifically the Lax-Friedrichs scheme for the nonlinearity in the gradient. We establish a comparison principle for the switching system and demonstrate the convergence of the schemes, which subsequently gives a constructive proof for the existence of a solution to the switching system. Numerical experiments are presented for a recursive utility maximization problem to demonstrate the effectiveness of the new schemes.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기대값과 무한 활동 점프 과정을 포함하는 혼합 최적 정지 및 최적 제어 문제를 위한 강력한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 모델 불확실성 하에서 순차적 유틸리티 최적화 및 강건한 리스크 측도에서 발생하는 완전히 비선형 PIDE를 해결하는 데 도전하는 것.
• 신규한 근사 스킴의 수렴성을 통해 해 존재성에 대한 구조적 증명을 제공하는 것.
• 기존 수치적 방법을 선형 기대값의 경우를 초월하여, 특히 BSDE 프레임워크 내의 비선형 드라이버에 대해 확장하는 것.
• 드라이버 및 점프 계수에 대한 일반적인 리프시츠 조건 하에서 스킴의 안정성과 수렴성을 확보하는 것.

제안 방법

• 제어 문제를 이산 시간 단계 동안의 비국소 비선형 방정식 시퀀스로 분리하기 위해 조각별 일정한 정책 시간스텝(PCMPT)을 활용한다.
• 통제된 확산 및 비국소 점프 성분을 근사하기 위해 완전히 암시적 단조 유한차분 스킴을 적용한다.
• 점프가 있는 BSDE의 드라이버에서 기인하는 기울기 항의 비선형성을 다루기 위해 Lax-Friedrichs 스킴을 사용한다.
• 다양한 제어 행동 간의 가치 함수를 결합하는 스위칭 시스템 설정을 구성함으로써 정책 반복 유사 수렴을 가능하게 한다.
• 스위칭 시스템에 대해 비교 원리를 확립하여 수치적 스킴의 유일성과 수렴성을 보장한다.
• 점프를 근사함으로써 유도되는 오차를 제어하기 위해 점프가 있는 BSDE 해에 대한 사전 추정 및 안정성 한계를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 기대값과 무한 활동 점프를 동반한 혼합 최적 정지 및 최적 제어 문제에 대해 수렴성 보장된 수치적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 반드시 C1-연속이 아니라는 조건 하에서 드라이버 및 기울기 항의 비선형성을 어떻게 안정적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 작은 점프를 근사함으로써 전체 스킴의 수렴성과 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 수렴성에 기반하여 수치적 스킴의 해 존재성에 대한 구조적 증명을 도출할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 비선형 드라이버에 대해 표준 '먼저 이산화하고 나서 최적화' 접근법과 비교했을 때, 제안된 방법은 어떤가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 드라이버 및 점프 계수의 리프시츠 연속성과 같은 일반적인 조건 하에서 비선형 HJB 변분부등식의 점성해로 수렴한다.
• 스위칭 시스템에 대해 비교 원리가 확립되어 점성해의 유일성을 보장한다.
• 근사 수열의 수렴성을 통해 스위칭 시스템의 해 존재성에 대한 구조적 증명을 제공한다.
• 작은 점프의 절단으로 인한 비선형 기대값 근사 오차는 $ C(\rho(\rho))^{1/4} $로 유계이며, 여기서 $ \rho $는 점프 크기 임계값을 제어한다.
• 수치 실험을 통해 점프와 비선형 기대값을 동반한 순차적 유틸리티 최적화 문제를 효과적으로 해결할 수 있음을 확인하였다.
• 비선형 드라이버가 반드시 C1-연속이 아니더라도 일반적인 비선형 드라이버를 효과적으로 처리할 수 있었으며, 뉴턴 타입의 해법기법의 한계를 극복하였다.