[논문 리뷰] Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II

Damien Roy|ArXiv.org|2002. 10. 11.

semigroups and automata theory참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 초월 실수를 삼차 대수적 정수로 근사할 때 최적의 지수는 이전에 추측된 3가 아니라 (3 + √5)/2 ≈ 2.618임을 입증한다. GL₂(ℤ)에서 정의된 재귀 관계를 통해 정의된 극단적 실수를 이용하여, 근사 측도가 정확히 맞는 초월수의 집합을 구성함으로써, 연속분수 유사 수열과 디오판틴 수학적 근사 성질의 세밀한 분석을 통해 지수 γ² = ((1+√5)/2)²가 최적이 됨을 증명한다.

ABSTRACT

It has been conjectured for some time that, for any integer n\ge 2, any real number ε>0 and any transcendental real number ξ, there would exist infinitely many algebraic integers αof degree at most n with the property that |ξ-α| < H(α)^{-n+ε}, where H(α) denotes the height of α. Although this is true for n=2, we show here that, for n=3, the optimal exponent of approximation is not 3 but (3+\sqrt{5})/2 = 2.618...

연구 동기 및 목표

• 삼차 대수적 정수로 초월 실수를 근사할 때 최적의 근사 지수가 3임을 추측한 바를 해결하기 위해.
• 실제로 최적의 지수가 (3 + √5)/2 ≈ 2.618임을 보이며, 3보다 작음을 입증하기 위해.
• 정확한 극단적 실수의 예를 제시하여 최적 근사 경계를 만족함을 보여주기 위해.
• GL₂(ℤ)의 재귀적 구조와 디오판틴 근사 기법을 이용하여 지수 γ² = ((1+√5)/2)²가 최적이 됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 대수적 정수 α의 높이 H(α)를 ℤ 위에서의 최소다항식의 계수의 절대값의 최댓값으로 정의한다.
• 성장, 근사, 행렬식의 경계 조건을 만족하는 ℤ³ 내의 수열 (xₖ)을 통해 극단적 실수를 특성화한다 (정리 2.1).
• GL₂(ℤ)에서의 재귀 관계를 이용하여 M = [[a,1],[-1,0]] 형태의 특정 행렬 M을 가진 수열 E(M)의 극단적 수를 정의한다.
• 정리 2.2를 적용하여 {xₖ,₀ξ³} 이 아래에서 유계이면, 모든 삼차 대수적 정수 α에 대해 |ξ − α| ≥ cH(α)^−γ² 임을 보인다.
• 레미마 2.6의 재귀 공식을 이용해 {xₖ,₀ξ³}을 모듈로 1로 분석하여, 이 수열이 양의 하한을 가짐을 증명한다.
• 참고문헌 [6]의 정리 9.2를 활용하여 {xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³ 임을 보이고, 이로써 정리 2.2의 가정 조건을 만족함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼차 대수적 정수로 초월 실수를 근사할 때 지수 n = 3가 최적이 되는가?
• RQ2 지수를 3 이하로 개선할 수 있으며, 만약 그렇다면 진정한 최적 값은 무엇인가?
• RQ3 피보나치 유사 연속분수로 구성된 극단적 실수는 최적 근사 경계를 정확히 만족하는가?
• RQ4 {xₖ,₀ξ³} 수열이 모듈로 1에서 0에서 멀리 떨어져 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 GL₂(ℤ)의 재귀적 구조를 이용하여 최적 지수를 달성하는 수의 명시적 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 삼차 대수적 정수로 초월 실수를 근사할 때 최적의 지수는 τ₃ = ((1+√5)/2)² = (3+√5)/2 ≈ 2.618이며, 3가 아니다.
• 초월 실수 ξ와 상수 c₁ > 0 가 존재하여, 모든 삼차 대수적 정수 α에 대해 |ξ − α| ≥ c₁H(α)^−γ² 임을 보였다.
• 양의 정수 a에 대해 M = [[a,1],[-1,0]] 으로 정의된 극단적 수 Ea의 집합은 지수 γ²로 최적 근사 경계를 만족한다.
• ξ ∈ Ea 이면, 수열 {xₖ,₀ξ³} 모듈로 1은 최대 세 개의 비영의 집적점만 가지며, 큰 k에 대해 양의 상한으로 유계이다.
• 증명은 {xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³ 임을 보이고 이를 통해 정리 2.2의 가정을 만족함을 이용한다.
• 결과적으로, 모든 n ≥ 2에 대해 τₙ = n 라는 추측은 n = 3 에서 실패하며, τ₃ = γ² < 3 이다.