[논문 리뷰] Approximations for the Caputo Derivative (I)

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 23.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $2 - \alpha$, $2$, 및 $3 - \alpha$ 순서의 카푸토 분수도함수에 대해 고차수 수치 근사법을 제안하며, $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 및 $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ 를 기반으로 한 가중치를 사용하고, 종점 가중치 보정을 통해 정확도를 향상시킨다. 새로운 근사식 (9)은 모든 시험된 분수 relaxation 방정식에서 표준 $L1$ 스킴보다 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we construct approximations for the Caputo derivative of order $1-α,2-α,2$ and $3-α$. The approximations have weights $0.5\left((k+1)^{-α}-(k-1)^{-α} ight)/Γ(1-α)$ and $k^{-1-α}/Γ(-α)$, and the higher accuracy is achieved by modifying the initial and last weights using the expansion formulas for the left and right endpoints. The approximations are applied for computing the numerical solution of ordinary fractional differential equations. The properties of the weights of the approximations of order $2-α$ are similar to the properties of the $L1$ approximation. In all experiments presented in the paper the accuracy of the numerical solutions using the approximation of order $2-α$ which has weights $k^{-1-α}/Γ(-α)$ is higher than the accuracy of the numerical solutions using the $L1$ approximation for the Caputo derivative.

연구 동기 및 목표

• 표준 $L1$ 스킴을 초월하는 고차수 수치 근사법을 개발하기 위해.
• 점근 전개를 사용하여 초기 및 최종 가중치를 수정함으로써 분수 미분 방정식을 해결하는 데 정확도를 향상시키기 위해.
• $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 및 $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ 를 기반으로 한 가중치를 사용하여 $2 - \alpha$, $2$, 및 $3 - \alpha$ 순서의 근사법을 구성하기 위해.
• 수치 실험을 통해 $L1$ 근사법과 비교하여 더 높은 수렴 속도와 오차 감소를 보여주기 위해.

제안 방법

• 함수 값의 가중합을 사용하여 카푸토 도함수의 근사식을 유도하며, 계수는 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 및 $((k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha})/\Gamma(1-\alpha)$ 를 기반으로 한다.
• 점근 전개 기법을 적용하여 첫 번째 및 마지막 가중치를 조정함으로써 종점에서의 정확도를 향상시킨다.
• 스텝 크기 $h = x/n$ 를 사용한 유한차분 스킴을 도입하여 카푸토 도함수를 이산화한다.
• 수치 실험에서 비교를 위한 기준으로 $L1$ 근사법을 사용한다.
• 미타그레플레르 함수를 포함한 정확한 해가 알려진 분수 relaxation 방정식을 풀어 수렴성을 검증한다.
• $\alpha = 0.25, 0.5, 0.75$ 에 대해 정확한 해를 사용하여 오차와 수렴 순서를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적으로 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 를 사용하는 카푸토 도함수 근사법이 $L1$ 스킴보다 더 높은 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 종점 가중치 수정이 분수 미분 방정식의 수치적 해에서 수렴 순서와 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 신규 근사식 (9)의 수렴 속도는 분수 relaxation 방정식에서 $L1$ 방법과 비교하여 어떠한가?
• RQ4 신규 근사식 (12)는 오차와 수렴 순서 측면에서 $L1$ 및 근사식 (9)를 모두 능가하는가?

주요 결과

• 모든 시험된 분수 relaxation 방정식에 대해 새로운 근사식 (9)은 $L1$ 스킴과 근사식 (12)보다 더 높은 정확도를 달성한다.
• $\alpha = 0.25$ 에서 $h = 0.00078125$ 일 때 근사식 (9)의 오차는 $4.3 \times 10^{-6}$ 이며, 수렴 순서는 1.7150으로, $L1$ 및 (12)를 능가한다.
• $\alpha = 0.5$ 에서 $h = 0.00078125$ 일 때 근사식 (9)의 오차는 $6.5 \times 10^{-6}$ 이며, 수렴 순서는 1.4931로, 다시 한번 $L1$ 및 (12)를 능가한다.
• $\alpha = 0.75$ 에서 $h = 0.00078125$ 일 때 근사식 (9)의 오차는 $0.0004290$ 이며, 수렴 순서는 1.2482로 일관된 우수성을 보인다.
• 근사식 (9)를 사용한 수치적 해는 $O(h^{2-\alpha})$ 의 순서로 수렴하며, 이는 $L1$ 스킴의 이론적 수렴 속도와 일치하지만 오차는 더 낮다.
• 근사식 (12)는 모든 시험 케이스에서 $L1$ 및 (9)보다 더 높은 정확도를 달성하며, 방정식 II의 경우 $h = 0.00078125$ 에서 오차가 최소 $1.7 \times 10^{-9}$ 로 낮고, 방정식 I의 경우 수렴 순서가 약 2.75에 가까운 것으로 나타났다.