[논문 리뷰] Approximations of the boundary crossing probabilities for the maximum of moving sums

Jack Noonan, Anatoly Zhigljavsky|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 22.

Hydrology and Drought Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이탈리안 정규 난수 변수의 이동 합에 대한 경계를 횡단하는 확률을 구하기 위해 이산 시간 과정을 연속 시간 이론으로 연결함으로써 새로운 근사법을 제안한다. 정적 가우시안 과정 이론의 연속 시간 결과를 이산 설정에 적응시키기 위해 보정 방법을 도입하여, 광범위한 수치적 검증을 통해 작은 윈도우 길이에서도 높은 정밀도를 보여주는 매우 정확한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper we study approximations for boundary crossing probabilities for the moving sums of i.i.d. normal random variables. We propose approximating a discrete time problem with a continuous time problem allowing us to apply developed theory for stationary Gaussian processes and to consider a number of approximations (some well known and some not). We bring particular attention to the strong performance of a newly developed approximation that corrects the use of continuous time results in a discrete time setting. Results of extensive numerical comparisons are reported. These results show that the developed approximation is very accurate even for small window length.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 이동 합의 이산 동일분포 정규 난수 변수에 대한 경계 횡단 확률을 계산하는 데 도전하는 데 목적이 있다.
• 정적 가우시안 과정 이론의 연속 시간 결과를 활용하여 이산 시간 설정에서의 정확도를 향상시키는 데 목적이 있다.
• 연속 시간 근사법의 성능을 이산적 맥락에서 향상시키는 데 새로운 보정 기법을 개발하고 평가하는 데 목적이 있다.
• 특히 작은 윈도우 길이에서 효율적이고 수치적으로 안정된 경계 횡단 확률 추정 방법을 제공하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 이산 시간 이동 합 과정을 연속 시간 가우시안 과정으로 근사하여 기존 이론적 결과를 활용한다.
• 원래 문제의 본질적인 이산성에 맞추어 연속 시간 근사값을 조정하기 위해 보정 항을 도입한다.
• 정적 가우시안 과정의 성질과 그들의 제1통과 시간을 사용하여 이론적 근사값을 유도한다.
• 다양한 근사값의 정확도를 평가하고 비교하기 위해 渐近적 및 수치적 기법을 적용한다.
• 성능 평가를 위해 다양한 윈도우 길이에 걸쳐 광범위한 수치적 비교를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 시간 근사법은 이산 시간 이동 합 과정에서 경계 횡단 확률을 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 이 맥락에서 이산화 오차는 표준 연속 시간 근사법에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 보정 항을 이산 시간 문제에 적용했을 때 연속 시간 근사법의 정확도를 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 특히 소규모 표본에서, 제안된 근사법의 성능은 윈도우 길이에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 제안된 보정 방법은 이산 시간 설정에서 연속 시간 근사법의 정확도를 상당히 향상시킨다.
• 표준 방법이 자주 실패하는 작은 윈도우 길이에서도 새로운 근사법은 매우 높은 정밀도를 달성한다.
• 수치적 비교 결과, 제안된 방법은 보정되지 않은 연속 시간 근사법과 다른 알려진 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 보정 항은 경계 횡단 확률 추정에서 시간 이산화로 인한 편향을 효과적으로 완화한다.