[논문 리뷰] Approximations of the domination number of a graph

Glenn G. Chappell, John Gimbel외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 21.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 독립수 γ(G)의 근사치로 분수 독립수 γf(G)와 탐욕적 독립수 γg(G)를 사용하여 분석한다. γg(G)/γf(G) = O(log n)임을 입증하고, γ/γf와 γg/γ의 비율이 모두 Θ(log n)이 될 수 있음을 보여주는 그래프를 구성함으로써 이들 상한이 점점 더 엄밀하다는 것을 증명한다. 또한 두 개의 상한, O(log n)과 O(n log δ / δ) 중 어느 것이 더 우월한지에 대해 맥락에 따라 비교 분석한다.

ABSTRACT

Given a graph G, the domination number gamma(G) of G is the minimum order of a set S of vertices such that each vertex not in S is adjacent to some vertex in S. Equivalently, label the vertices from {0, 1} so that the sum over each closed neighborhood is at least one; the minimum value of the sum of all labels, with this restriction, is the domination number. The fractional domination number gamma_f(G) is defined in the same way, except that the vertex labels are chosen from [0, 1]. Given an ordering of the vertex set of G, let gamma_g(G) be the approximation of the domination number by the standard greedy algorithm. Computing the domination number is NP-complete; however, we can bound gamma by these two more easily computed parameters: gamma_f(G) <= gamma(G) <= gamma_g(G). How good are these approximations? Using techniques from the theory of hypergraphs, one can show that, for every graph G of order n, gamma_g(G) / gamma_f(G) = O(log n). On the other hand, we provide examples of graphs for which gamma / gamma_f = Theta(log n) and graphs for which gamma_g / gamma = Theta(log n). Lastly, we use our examples to compare two bounds on gamma_g.

연구 동기 및 목표

• 탐욕적 알고리즘의 독립수 근사 품질을 γg(G)를 통해 분석하고, 분수 독립수 γf(G)와 비교한다.
• γg(G)에 대한 알려진 상한, 특히 O(γf(G) log n)와 O(n log δ / δ)의 엄밀성 여부를 규명한다.
• γ/γf와 γg/γ의 비율이 모두 Θ(log n)이 되는 명시적인 그래프 가족을 구성함으로써 상한이 점점 더 엄밀하다는 것을 증명한다.

제안 방법

• 초그래프 이론을 활용하여 γg(G)/γf(G)에 대한 O(log n) 상한을 유도한다.
• 확률적 방법을 적용하여 무작위 그래프 Rn이 거의 확실히 작은 독립 집합을 가지지 않음을 보이고, 이는 무수히 많은 n에 대해 γ(G)/γf(G) = Θ(log n)임을 의미한다.
• γf(Ht) = γ(Ht) = 4 이고 γg(Ht) = t = Θ(log n)인 명시적인 그래프 Ht를 구성함으로써 γg/γ 비율이 Θ(log n)임을 입증한다.
• γg(G)에 대한 두 상한, 하나는 γf(G)와 log n에 기반하고, 다른 하나는 n log δ / δ에 기반하며, 특정 그래프 구성법을 통해 그 엄밀성 여부를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율 γg(G)/γf(G)는 O(log n)으로 유계일 수 있으며, 이 상한은 점점 더 엄밀한가?
• RQ2 γ(G)/γf(G) = Θ(log n)이 되는 그래프가 존재하는가? 이는 분수 독립수 번역이 독립수에 대해 빈약한 근사임을 보여주는가?
• RQ3 탐욕적 알고리즘의 성능 비율 γg(G)/γ(G)가 Θ(log n)이 될 수 있는가? 이는 진정한 독립수를 로그 인자만큼 크게 과대평가할 수 있음을 의미하는가?
• RQ4 γg(G)에 대한 두 상한, O(γf(G) log n)와 O(n log δ / δ) 중 어느 것이 특정 그래프 가족에서 더 엄밀한가?

주요 결과

• 비율 γg(G)/γf(G)는 O(log n)이며, 이 상한은 점점 더 엄밀하다. 이는 비율이 Θ(log n)이 되는 확률적 구성 그래프를 통해 입증된다.
• 순서 n인 그래프 Gn이 존재하여 γ(Gn)/γf(Gn) = Θ(log n)임을 보여주며, 이는 분수 독립수 번역이 독립수에 대해 빈약한 근사가 될 수 있음을 증명한다.
• γg(Ht)/γ(Ht) = Θ(log n)이 되는 명시적인 그래프 Ht를 구성함으로써 탐욕적 알고리즘이 독립수를 로그 인자만큼 과대평가할 수 있음을 입증한다.
• 그래프 Ht에 대해, γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 상한은 엄밀하다(Θ(log n)), 반면 γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 상한은 느슨하다(Θ(n))이며, 이는 첫 번째 상한이 이 경우에서 더 유리함을 보여준다.
• 반대로, 털난 클리크(t-클리크에 매달린 정점 포함)의 경우, γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 상한은 엄밀하다(Θ(n)), 반면 γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 상한은 느슨하다(Θ(n log n))이며, 이는 두 번째 상한이 다른 경우에서 열 劣하다는 것을 보여준다.
• 논문은 γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 또는 γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 중 어느 하나도 항상 더 우월하지 않으며, 그 엄밀성은 그래프의 구조에 따라 달라진다는 결론을 내린다.