[논문 리뷰] Arbitrage free cointegrated models in gas and oil future markets

Grégory Benmenzer, Emmanuel Gobet외 1명|ArXiv.org|2007. 12. 20.

Market Dynamics and Volatility참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 물리적 측도 하에서 벡터 오차수정 모형(VECM)을 통해 장기적 코-int리에이션을 통합하면서도, 가격 책정을 위한 위험 중립 동역학을 유지하는 연속시간 무아웃리어 모델을 제안한다. 시장의 위험 프리미엄을 모델링함으로써 무아웃리어 조건을 충족시키며, 정확한 리스크 관리 및 옵션 가격 책정이 가능하다. 유럽 시장 데이터에 대한 캘리브레이션 결과 관측된 프론트 커브와 장기적 가격 관계에 대해 뛰어난 적합성을 보였다.

ABSTRACT

In this article we present a continuous time model for natural gas and crude oil future prices. Its main feature is the possibility to link both energies in the long term and in the short term. For each energy, the future returns are represented as the sum of volatility functions driven by motions. Under the risk neutral probability, the motions of both energies are correlated Brownian motions while under the historical probability, they are cointegrated by a Vectorial Error Correction Model. Our approach is equivalent to defining the market price of risk. This model is free of arbitrage: thus, it can be used for risk management as well for option pricing issues. Calibration on European market data and numerical simulations illustrate well its behavior.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 모델을 개발하여 천연가스 및 원유 선도 가격 간 장기적 코인테그레이션을 포착하면서도, 유가격 책정 응용 분야에서 무아웃리어 조건을 유지한다.
• 역사적 데이터에서 관측된 장기적 의존성(코인테그레이션을 통해)을 위험 중립 가격 책정에 필요한 단기 스토케스틱 동역학과 조율한다.
• 실제로 유럽 선도 선물 시장 데이터를 사용하여 모델을 캘리브레이션함으로써, 시뮬레이션 결과가 관측된 초기 프론트 커브와 일치하도록 보장한다.
• 위험 중립 측도 하에서 무아웃리어 일致성을 확보함으로써 실무적 리스크 관리(예: Value at Risk) 및 파생상품 가격 책정에 활용 가능하도록 한다.
• 단기 변동성과 장기 균형 관계를 모두 반영하는 현실적인 공동 가격 시나리오를 생성할 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 모델은 두 측도 프레임워크를 사용한다: 코인테그레이션은 물리적 확률 측도(P) 하에서 기초 가격 움직임에 대해 벡터 오차수정 모형(VECM)을 통해 도입된다.
• 위험 중립 측도(Q) 하에서는, 주로 주성분 분석(PCA)으로 유도된 변동성 함수를 갖는 상관관계가 있는 브라운 운동이 프론트 리턴을 이끈다.
• 시장의 위험 프리미엄(λt)을 도입하여 물리적 동역학과 위험 중립 동역학을 연결함으로써 무아웃리어 조건을 충족시킨다.
• 일반 최소 제곱법과 정보 기준(BIC)을 사용하여 유럽 천연가스 및 원유 선도 선물 데이터를 기반으로 VECM 매개변수(Π 및 ΣΣ*)와 변동성 감쇠 매개변수(τi)를 추정함으로써 모델을 캘리브레이션한다.
• 유도어 스킴을 사용하여 시뮬레이션을 수행하며, 시간에 따라 변하는 θt 매개변수를 도입하여 시뮬레이션을 초기 프론트 커브 중심으로 놓음으로써 정확도를 향상시킨다.
• 모델은 향후 계절성(특히 가스 변동성에서)을 포함할 수 있도록 민첩한 구조를 포함하고 있어 핵심 동역학을 변경하지 않으면서도 확장 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속시간 모델이 천연가스 및 원유 가격 간 장기적 코인테그레이션을 동시에 포착하면서도 파생상품 가격 책정에 있어 무아웃리어 조건을 유지할 수 있는가?
• RQ2 에너지 선도 선물에서 역사적 코인테그레이션과 위험 중립 동역학 간 격차를 메우기 위해 시장의 위험 프리미엄은 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ3 기초 가격 움직임에 대해 VECM 기반 모델이 관측된 프론트 커브 형태와 천연가스 및 원유 시장의 장기적 가격 관계를 어느 정도 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ4 캘리브레이션된 모델이 단기 변동성과 장기 균형 관계를 모두 반영하는 현실적인 공동 가격 시나리오를 어느 정도 잘 시뮬레이션하는가?
• RQ5 모델을 조정하여 시뮬레이션된 가격을 초기 프론트 커브에 중심화시킬 수 있는가? 이는 리스크 관리 응용 분야에서 현실성 향상에 기여하는가?

주요 결과

• 모델은 천연가스 및 원유 가격 간 장기적 코인테그레이션을 성공적으로 포착하였으며, 필립스-우리올리스 검정에서 무코인테그레이션의 귀무가설을 기각함(p-value < 0.05).
• 캘리브레이션 결과 특성 시간 매개변수로 τ₁ᵍ = 0.736년(가스) 및 τ₁ᶜ = 3.761년(유연탄)을 도출하였으며, 충격 이후 원유 가격이 더 오래 지속됨을 시사한다.
• θt 매개변수 조정 후, 초기 프론트 커브에서의 시뮬레이션 편차는 기존 조정 없이 5.6% 및 2.1%였던 데 비해 각각 0.08% 및 0.03%로 감소하였다.
• 추정된 VECM 행렬 Π는 유의미한 장기적 관계를 보이며, 예를 들어 Xₜ¹ − 0.97Xₜ⁴ = uₜ 형태로, uₜ는 정적 과정임을 확인함으로써 코인테그레이션을 확인한다.
• VECM에서 유도된 분산-공분산 행렬 ΣΣ*는 현실적인 다자산 간 의존성을 반영하며, 6차원 과정 전반에 걸쳐 양적 및 음적 상관관계를 보인다.
• 수치적 시뮬레이션 결과, 모델은 비현실적인 분리(예: 가스 가격 상승과 동시에 원유 가격 하락)를 보이지 않는 타당한 공동 가격 경로를 생성함을 입증하였다.