[논문 리뷰] Arbitrage-Free Implied Volatility Surface Generation with Variational Autoencoders

Brian Ning, Sebastian Jaimungal외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 10.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 역사적 FX 데이터에서 변동성 표면의 무위험성과 무아웃라이어를 보장하는 하이브리드 생성 모델을 제안한다. 먼저 SDE 모델(정재 전환 및 Lévy 과정)을 데이터에 캘리브레이션한 후, 그 결과로 유도된 매개변수 분포에 VAE를 훈련시켜 무아웃라이어를 보장하는 임의의 변동성 표면을 학습한다. 이 방법은 실제 데이터의 통계 분포를 잘 반영하는 현실적인 무아웃라이어 변동성 표면을 생성하며, 조건부 VAE(CTMC-CVAE)는 아웃오브샘플 워샤르텐 메트릭에서 기존의 기준 모델들보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We propose a hybrid method for generating arbitrage-free implied volatility (IV) surfaces consistent with historical data by combining model-free Variational Autoencoders (VAEs) with continuous time stochastic differential equation (SDE) driven models. We focus on two classes of SDE models: regime switching models and Lévy additive processes. By projecting historical surfaces onto the space of SDE model parameters, we obtain a distribution on the parameter subspace faithful to the data on which we then train a VAE. Arbitrage-free IV surfaces are then generated by sampling from the posterior distribution on the latent space, decoding to obtain SDE model parameters, and finally mapping those parameters to IV surfaces. We further refine the VAE model by including conditional features and demonstrate its superior generative out-of-sample performance.

연구 동기 및 목표

• 희박한 FX 데이터에서 역사적 시장 역학을 반영하는 현실적이고 무아웃라이어를 보장하는 임의의 변동성 표면을 생성하는 데 도전하는 것.
• 모델 기반 SDE 캘리브레이션과 딥 생성 모델링을 융합하여 재무적 일관성과 데이터 정확성을 모두 확보하는 하이브리드 프레임워크를 개발하는 것.
• 외부 조건 변수(예: VIX 지수)를 VAE 아키텍처에 통합하여 아웃오브샘플 생성 성능을 향상시키는 것.
• 생성된 변동성 표면가 반드시 위험 중립적이며 정적 아웃라이어가 없도록 구성하는 것.
• 모델에 의해 생성된 합성 표면가 훈련 데이터 자체와 통계적으로 동일한 수준으로 실제 데이터에 가까운지를 입증하는 것.

제안 방법

• 워샤르텐 페널티를 사용하여 역사적 FX 옵션 데이터에 대해 고도로 무아웃라이어를 보장하는 SDE 모델(특히 정재 전환 및 Lévy 덧셈 과정)을 캘리브레이션하여 모델의 위험 중립 밀도를 관찰된 시장 데이터와 일치시킨다.
• 역사적 데이터의 통계적 특징을 반영하는 저차원 매개변수 하위공간으로 캘리브레이션된 SDE 매개변수를 투영한다.
• SDE 모델 매개변수의 분포에 VAE를 훈련시어 매개변수 공간의 잠재 표현을 학습한다.
• 잠재 공간에서 샘플링하여 SDE 매개변수를 복원하고, 모델 기반 가격 설정을 통해 이를 다시 변동성 표면으로 매핑함으로써 무아웃라이어 변동성 표면을 생성한다.
• 외부 특징(예: 일일 VIX 지수)을 통합하여 VAE를 조건부 VAE(CVAE)로 확장함으로써 생성 성능을 향상시키고 시장 제도 변화를 반영한다.
• 생성된 표면와 테스트 세트 표면 간의 워샤르텐 거리로 아웃오브샘플 정밀도를 평가하는 주요 평가 기준을 사용한다.

Figure 2 : Typical fits of the CTMC model to the IVs (top) and densities (bottom) of AUD-USD data with root mean squared error in the 50th (blue) and 90th (red) quantiles. Strike ranges differ on different days.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE 캘리브레이션과 VAE 기반 생성 모델링을 융합한 하이브리드 모델이 역사적 FX 데이터와 통계적으로 유사한 무아웃라이어 변동성 표면을 생성할 수 있는가?
• RQ2 외부 경제 지표나 변동성 지수(예: VIX)를 조건부로 하여 VAE를 조정하면 아웃오브샘플 생성 성능이 어떻게 향상되는가?
• RQ3 VAE 기반 접근 방식이 실제 변동성 표면의 통계 분포를 어느 정도 유지하는가? 생성 샘플이 훈련 세트 자체와 동일한 수준으로 테스트 데이터에 가까운가?
• RQ4 SDE 캘리브레이션 과정에서 워샤르텐 페널티를 사용하는 것이 VAE가 학습하는 매개변수 분포의 품질을 향상시키는가?
• RQ5 다양한 잠재 차원 크기의 조합이 변동성 표면 합성에서 모델 복잡성과 생성 정확성 간의 트레이드오���에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• VIX 지수를 조건부로 하는 CTMC-CVAE 모델은 모든 테스트 설정에서 평균 워샤르텐 거리가 가장 낮게 나타나, 무조건적 CTMC-VAE 및 모든 기준 모델을 압도적으로 뛰어넘는 성능을 보였다.
• AUD-USD 통화쌍의 경우, 10개의 잠재 차원을 사용한 CTMC-CVAE는 평균 워샤르텐 거리 1.26×10⁻²를 기록하여 경험적 기준 모델의 1.67×10⁻²보다 유의미하게 낮았다.
• 모델는 약 350일의 훈련 데이터로 최적의 성능을 달성할 수 있음을 보여주었으며, 더 큰 훈련 세트는 시장 대표성 감소로 인해 성능이 악화되는 경향을 보였다.
• 생성된 변동성 표면는 각 통화쌍에 대해 일관된 스케일, 미소, 수준 특성을 보이며, 랜덤 샘플 간에 현실적인 변동성을 나타내어 강력한 분포 유사성(분포 충실도)을 입증했다.
• VAE에 의해 생성된 표면는 훈련 세트 자체와 동일한 수준으로 테스트 데이터의 분포에 가까운 것으로 나타나, 모델가 근본적인 데이터 생성 과정을 효과적으로 포착하고 있음을 시사한다.
• 조건부 VAE 아키텍처는 모델이 변화하는 시장 조건에 적응할 수 있도록 해주었으며, VIX 지수가 변동성 표면의 동적 변화를 강력하게 예측하는 데 기여했다.

Figure 4 : Testing Parameters