[논문 리뷰] Arbitrage in Fractal Modulated Markets When the Volatility is Stochastic

Erhan Bayraktar, H. Vincent Poor|ArXiv.org|2005. 01. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분수적 조절된 블랙-쇼스 모델에서 확률적 변동성을 가진 경우에, 기초 자산 가격 과정이 분수 브라운 운동(fBm) 또는 시간에 의해 변화된 fBm에 의해 구동되는 경우의 아르비트리지 전략을 수립한다. 이러한 과정의 영점 이차변동성 성질을 활용하여, 허스트 매개수 H의 추정이 필요 없이도 연속적이고 적응 가능한 적분자들을 지원하는 스토케스틱 적분 프레임워크를 구축한다.

ABSTRACT

In this paper an arbitrage strategy is constructed for the modified Black-Scholes model driven by fractional Brownian motion or by a time changed fractional Brownian motion, when the volatility is stochastic. This latter property allows the heavy tailedness of the log returns of the stock prices to be also accounted for in addition to the long range dependence introduced by the fractional Brownian motion. Work has been done previously on this problem for the case with constant `volatility' and without a time change; here these results are extended to the case of stochastic volatility models when the modulator is fractional Brownian motion or a time change of it. (Volatility in fractional Black-Scholes models does not carry the same meaning as in the classic Black-Scholes framework, which is made clear in the text.) Since fractional Brownian motion is not a semi-martingale, the Black-Scholes differential equation is not well-defined sense for arbitrary predictable volatility processes. However, it is shown here that any almost surely continuous and adapted process having zero quadratic variation can act as an integrator over functions of the integrator and over the family of continuous adapted semi-martingales. Moreover it is shown that the integral also has zero quadratic variation, and therefore that the integral itself can be an integrator. This property of the integral is crucial in developing the arbitrage strategy. Since fractional Brownian motion and a time change of fractional Brownian motion have zero quadratic variation, these results are applicable to these cases in particular. The appropriateness of fractional Brownian motion as a means of modeling stock price returns is discussed as well.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동 모델에서의 기존 아르비트리지 결과를 확률적 변동성의 경우로 확장하기 위해.
• fBm 및 시간에 의해 변화된 fBm와 호환되는 스토케스틱 적분 프레임워크를 개발하기 위해.
• 연속적이고 적응 가능한 과정 중 이차변동성이 영인 것들이 적응 가능한 연속적인 세미마르팅글 및 적분자의 함수에 대해 적분자로 기능할 수 있음을 보여주기 위해.
• 그러한 적분자가 또한 영점 이차변동성을 유지함으로써, 아르비트리지 구축에서 반복적으로 적분자로 사용될 수 있음을 보여주기 위해.
• 허스트 매개수 H의 추정이 필요 없는 경제적으로 해석 가능한 아르비트리지 전략을 제공하기 위해.

제안 방법

• 위치에 따라 수축하는 분할에서의 스틸체스 합의 확률적 수렴을 통한 스토케스틱 적분 정의, 위크 유형의 적분을 사용하지 않고서.
• 거의 확실히 연속적이고 적응 가능한 과정 중 이차변동성이 영인 것이 연속적이고 적응 가능한 세미마르팅글 및 적분자의 함수에 대해 적분자로 작용할 수 있음을 증명하기 위해.
• 결과로 얻어진 적분자가 또한 영점 이차변동성을 유지함으로써, 거래 전략 구축에서 반복적으로 사용될 수 있음을 확립하기 위해.
• 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1]인 분수 브라운 운동(fBm) 및 시간에 의해 변화된 fBm에 이 프레임워크를 적용하기 위해.
• 확률적 변동성과 fBm에 의해 구동되는 주가 동적 변화에 기반한 명시적인 아르비트리지 전략을 수립하기 위해.
• 전략이 허스트 매개수 H에 독립적임을 보여주기 위해, H는 가격 과정에만 영향을 주고 거래 규칙에는 직접적으로 영향을 주지 않기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 브라운 운동으로 구동되며 변동성이 확률적인 수정된 블랙-쇼스 모델에서 아르비트리지가 구성될 수 있는가?
• RQ2 fBm 및 시간에 의해 변화된 fBm의 영점 이차변동성 성질이 비세미마르팅글 과정에 대해 일관된 스토케스틱 적분 프레임워크를 가능하게 하는가?
• RQ3 그러한 적분자가 반복적으로 사용되어 보장된 수익을 얻는 자기자금 전략을 구축하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 아르비트리지 전략은 허스트 매개수 H의 값에 민감한가, 아니면 H의 추정이 필요한가?
• RQ5 제안된 스틸체스 유형의 적분 프레임워크는 경제적 해석 가능성과 아르비트리지 생성 측면에서 위크 유형의 적분과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 확률적 변동성을 가진 분수 브라운 운동 또는 그 시간에 의해 변화된 형태로 구동되는 수정된 블랙-쇼스 모델에서 명시적인 아르비트리지 전략이 존재한다.
• 스틸체스 합의 수렴을 통한 정의된 스토케스틱 적분은 거의 확실히 연속적이고 이차변동성이 영인 모든 적응 가능한 과정에 대해 잘 정의되어 있다.
• 그러한 적분자는 영점 이차변동성 성질을 유지하므로, 거래 전략 구축에서 반복적으로 적분자로 사용될 수 있다.
• 아르비트리지 전략은 허스트 매개수 H의 추정이 필요하지 않다. 이는 주가 과정에만 영향을 주지만 H에 직접적으로 의존하지 않기 때문이다.
• 이 프레임워크는 위험 없는 수익을 창출하는 연속적인 거래 전략을 지원하며, 분수적 조절된 시장에서 확률적 변동성이 존재할 경우 아르비트리지의 존재를 보여준다.
• 결과적으로 fBm 기반 모델은 비세미마르팅글 성질을 지니고 있음에도 불구하고, 선택된 적분 이론 하에서는 경제적으로 해석 가능한 아르비트리지 전략을 지원할 수 있음을 보여준다.