[논문 리뷰] Arc-descent for the perfect loop functor and $p$-adic Deligne--Lusztig spaces

Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 국소체 위의 준사영 스킴에 대한 완전한 루프 함수 $LX$ 에 대해 아크-강하(arc-descent)를 확립하며, $LX$ 가 아크-층임을 증명하고, 비분비적 재조합군의 경우 $LG \to L(G/B)$ 에 대해 $v$-위상적 전성($v$-topological surjectivity)을 확장한다. 또한 $p$-진 델리뉴-루스티그 공간 $X_w(b)$ 의 새로운 잘 다스러운 개념을 도입하여, 많은 경우에 그들이 인도-표현 가능( ind-representable )임을 보이고, 그 덮개 공간 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 가 닫힌 부분집합 위에서 프로-에테일 토르서( pro-étale torsor )임을 밝힌다.

ABSTRACT

We prove that the perfect loop functor $LX$ of a quasi-projective scheme $X$ over a local non-archimedean field $k$ satisfies arc-descent, strengthening a result of Drinfeld. Then we prove that for an unramified reductive group $G$, the map $LG ightarrow L(G/B)$ is a $v$-surjection. This gives a mixed characteristic version (for $v$-topology) of an equal characteristic result (in étale topology) of Bouthier--Česnavičius. In the second part of the article, we use the above results to introduce a well-behaved notion of Deligne--Lusztig spaces $X_w(b)$ attached to unramified $p$-adic reductive groups. We show that in various cases these sheaves are ind-representable, thus partially solving a question of Boyarchenko. Finally, we show that the natural covering spaces $\dot X_{\dot w}(b)$ are pro-étale torsors over clopen subsets of $X_w(b)$, and analyze some examples.

연구 동기 및 목표

• 완전한 루프 함수 $LX$ 가 $\mathbb{Q}_p$ 위의 준사영 스킴에서 아크-강하를 만족함을 확립한다.
• 비분비적 재조합군 $G$ 에 대해 $LG \to L(G/B)$ 가 $v$-전성임을 증명하여, 등차수 성질의 결과를 혼합차수 성질로 확장한다.
• 새로운 잘 다스러운 개념의 $p$-진 델리뉴-루스티그 공간 $X_w(b)$ 를 $v$-위상에서 정의한다.
• 이 공간들이 다양한 경우에서 인도-표현 가능함을 보이며, 보야르체노의 질문에 응답한다.
• 덮개 공간 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 가 $X_w(b)$ 의 닫힌 부분집합 위에서 프로-에테일 토르서임을 분석한다.

제안 방법

• 완전한 $R$ 에 대해 $W(R)[p^{-1}]$ 위의 벡터 번들의 층이 아크-스택임을 증명하며, [SW20] 의 퍼펙트로이드 기법을 사용한다.
• 열린 및 닫힌 포함 사상과 벡터 번들의 행동을 분석하여, 준사영 $X$ 에 대해 $LX$ 에 대한 아크-강하를 유도한다.
• $\operatorname{Spec} A$ 가 비율환의 스펙트럼의 서로소 합집합인 경우, 모든 유한 국소 자유 $W(A)[p^{-1}]$-모듈러는 자유임을 보인다.
• $LG \to L(G/B)$ 의 $v$-위상적 전성으로부터, 기하학적 프로베니우스의 그래프와 $b$ 에 의한 좌측 곱셈을 포함하는 카르테시안 다이어그램을 통해 $X_w(b)$ 를 정의한다.
• 루프 공간의 구조와 그 덮개 공간을 분석하여 $X_w(b)$ 의 인도-표현 가능성을 확립한다.
• 랭 맵과 $G_0(k)$ 가 $\dot{w}LU$ 의 올겹침 위에서 작용하는 방식을 분석하여 $\dot{X}_{\dot{w}}(b) \to X_w(b)$ 가 프로-에테일 토르서임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 루프 함수 $LX$ 는 $\mathbb{Q}_p$ 위의 준사영 스킴에서 아크-강하를 만족하는가?
• RQ2 $LG \to L(G/B)$ 는 비분비적 재조합군 $G$ 에 대해 $v$-전성인가?
• RQ3 $v$-위상에서 잘 정의된 $p$-진 델리뉴-루스티그 공간 $X_w(b)$ 의 개념을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 $X_w(b)$ 는 자연스러운 경우, 특히 $b=1$ 일 때 인도-표현 가능한가?
• RQ5 덮개 공간 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 는 $X_w(b)$ 의 닫힌 부분집합 위에서 프로-에테일 토르서인가?

주요 결과

• 모든 준사영 스킴 $X$ 에 대해 완전한 루프 함수 $LX$ 는 $\mathbb{Q}_p$ 위에서 아크-층이며, 드리프레인의 fpqc 결과를 강화한다.
• 스펙트럼이 비율환의 스펙트럼의 서로소 합집합인 완전한 링 $A$ 에 대해, 모든 유한 국소 자유 $W(A)[p^{-1}]$-모듈러는 일정한 계수를 가짐에 따라 자유이다.
• 비분비적 재조합군 $G$ 에 대해 $LG \to L(G/B)$ 는 $\mathbb{Q}_p$ 위에서 $v$-전성이며, 등차수 성질의 에테일 결과에 대한 혼합차수 성질의 해석을 제공한다.
• $p$-진 델리뉴-루스티그 공간 $X_w(b)$ 는 루프 공간의 플래그 다양체와 기하학적 프로베니우스의 그래프를 포함하는 카르테시안 다이어그램을 통해 정의되며, 잘 다스러운 $v$-층을 이룬다.
• $b=1$ 인 경우, 덮개 공간 $\dot{X}_{\dot{w}}(1)$ 는 $\operatorname{GL}_3$ 과 최장 웨일 군 원소에 대한 고전적 델리뉴-루스티그 다양체 위의 토르서와 동형이다.
• 덮개 공간 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 는 $X_w(b)$ 의 닫힌 부분집합 위에서 프로-에테일 토르서이며, 토르서의 구조는 랭 맵과 $G_0(k)$-행동에 의해 유도된다.