[논문 리뷰] (Arc-disjoint) cycle packing in tournament: classical and parameterized complexity

Stéphane Bessy, Marin Bougeret외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 19.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 10인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 토너먼트에서 간-소속 순환 패킹과 삼각형 패킹의 NP-난이도를 증명하고, 매개변수화된 삼각형 패킹에 대해 정점 선형 커널의 존재를 입증하며, 피드백 간 집합이 매칭을 이룰 때의 희박한 토너먼트에서 이러한 문제에 대해 다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 이 작업은 고전적 복잡도 이론과 매개변수화된 복잡도 이론을 연결하여, 토너먼트에서 피드백 간 집합의 쌍대 문제들에 대한 알고리즘적 이해의 오랜 격차를 해결한다.

ABSTRACT

A tournament is a directed graph in which there is a single arc between every pair of distinct vertices. Given a tournament T on n vertices, we explore the classical and parameterized complexity of the problems of determining if T has a cycle packing (a set of pairwise arc-disjoint cycles) of size k and a triangle packing (a set of pairwise arc-disjoint triangles) of size k. We refer to these problems as Arc-disjoint Cycles in Tournaments (ACT) and Arc-disjoint Triangles in Tournaments (ATT), respectively. Although the maximization version of ACT can be seen as the linear programming dual of the well-studied problem of finding a minimum feedback arc set (a set of arcs whose deletion results in an acyclic graph) in tournaments, surprisingly no algorithmic results seem to exist for ACT. We first show that ACT and ATT are both NP-complete. Then, we show that the problem of determining if a tournament has a cycle packing and a feedback arc set of the same size is NP-complete. Next, we prove that ACT and ATT are fixed-parameter tractable, they can be solved in 2^{O(k log k)} n^{O(1)} time and 2^{O(k)} n^{O(1)} time respectively. Moreover, they both admit a kernel with O(k) vertices. We also prove that ACT and ATT cannot be solved in 2^{o(sqrt{k})} n^{O(1)} time under the Exponential-Time Hypothesis.

연구 동기 및 목표

• 토너먼트에서 간-소속 순환 패킹(MaxCT) 및 삼각형 패킹(MaxTT)의 고전적 복잡도와 매개변수화된 복잡도를 조사하기 위해.
• MaxCT 및 MaxTT가 NP-난이도인지, 특히 피드백 간 집합 문제와의 관계에서 확인하기 위해.
• 해결책 크기로 매개변수화된 경우 MaxTT에 대해 고정-파rameter 트래actable(FPT) 알고리즘이나 커널화가 존재하는지 탐색하기 위해.
• 피드백 간 집합이 매칭을 이루는 희박한 토너먼트에서 MaxCT 및 MaxTT에 대해 다항식 시간 알고리즘을 개발하기 위해.
• 순환 패킹 크기와 피드백 간 집합 크기 사이의 관계를 명확히 하기 위해, 특히 이 둘이 토너먼트에서 동일할 수 있는지 여부를 조사하기 위해.

제안 방법

• 3-SAT의 변종으로부터의 축소를 통한 MaxCT 및 MaxTT의 NP-난이도 증명으로, Exponential Time Hypothesis(ETH) 하에 2^o(√k)의 하한도 확보하였다.
• 토너먼트가 순환 패킹과 피드백 간 집합의 크기가 동일한지 여부를 결정하는 것은 NP-완전임을 입증하였으며, 이는 FAST를 최대 순환 패킹 크기 이상으로 매개변수화한 경우 FPT 알고리즘이 존재하지 않음을 시사한다.
• 피드백 간 집합의 구조를 활용한 동적 프로그래밍을 기반으로, k-MaxTT(해결책 크기로 매개변수화된 삼각형 패킹)에 대해 O*(2^k)의 FPT 알고리즘을 개발하였다.
• 해결책 크기 k에 대해 O(k)개의 정점으로 축소하면서도 해의 크기를 유지하는 방식으로, k-MaxTT에 대해 선형 정점 커널을 확립하였다.
• 피드백 간 집합이 매칭을 이루는 희박한 토너먼트에서, 피드백 간 집합의 구조적 특성을 활용하여 MaxTT 및 MaxCT에 대해 다항식 시간 알고리즘을 제안하였다.
• 유도된 방향 그래프에서 종단 강한 성분과 진입 분지의 분석을 통해, 최적 해 구조를 모델링하기 위해 방향 그래프 분해 및 강한 성분 분석을 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토너먼트에서 간-소속 순환 패킹 문제(MaxCT)는 NP-난이도인가?
• RQ2 해결책 크기로 매개변수화된 삼각형 패킹 문제(MaxTT)는 고정-파rameter 트래actable(FPT) 알고리즘을 갖는가?
• RQ3 MaxTT는 해결책 크기의 선형 수준의 정점으로 커널화될 수 있는가?
• RQ4 피드백 간 집합이 매칭을 이루는 토너먼트에 대해 MaxCT 및 MaxTT는 다항식 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ5 토너먼트가 순환 패킹과 피드백 간 집합의 크기가 동일한지 여부를 결정하는 것은 NP-완전한가?

주요 결과

• MaxCT 및 MaxTT는 모두 NP-난이도이며, 특히 피드백 간 집합 크기가 순환 패킹 크기와 동일한 토너먼트로 제한된 경우에도 마찬가지이다.
• 토너먼트가 순환 패킹과 피드백 간 집합의 크기가 동일한지 여부를 결정하는 문제는 NP-완전하다.
• k-MaxTT는 O*(2^k)의 FPT 알고리즘을 갖는다. 이는 작은 해결책 크기의 경우 효율적인 해법을 제공한다.
• k-MaxTT는 O(k) 크기의 정점 선형 커널을 갖는다. 이는 문제를 해의 크기와 변화 없이 O(k)개의 정점으로 사전 처리할 수 있음을 의미한다.
• 희박한 토너먼트(피드백 간 집합이 매칭을 이룰 경우)에서는 MaxTT 및 MaxCT가 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 완전히 희박한 토너먼트에서는 최대 순환 패킹 크기와 최대 삼각형 패킹 크기가 동일하며, 이는 희박성 하에서의 구조적 동치성을 확인한다.