[논문 리뷰] Are all cofibrantly generated model categories combinatorial?

Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 의미에서의 cofibrantly generated model category가 모든 경우에 Quillen equivalent인 combinatorial model category일 것임을 Vopěnka’s principle와 논리적으로 동치임을 증명한다. 유계적이지만 국소적으로 현존하지 않는 범주에서의 자명한 model structure를 사용하여, 그러한 Quillen equivalence의 존재는 Vopěnka’s principle를 함의함을 증명함으로써, Raptis의 원래 결과에 대해 이 원리가 체계적 집합론적 필요성을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

G. Raptis has recently proved that, assuming Vopěnka's principle, every cofibrantly generated model category is Quillen equivalent to a combinatorial one. His result remains true for a slightly more general concept of a cofibrantly generated model category. We show that Vopěnka's principle is equivalent to this claim. The set-theoretical status of the original Raptis' result is open.

연구 동기 및 목표

• Raptis의 결과, 즉 모든 cofibrantly generated model category가 combinatorial model category와 Quillen equivalent임을 보장하기 위해 Vopěnka’s principle가 필수적인가를 판단하는 것.
• cofibrantly generated model category와 combinatorial model category 간의 관계를 분석하여 Raptis의 정리의 체계적 집합론적 성격을 조사하는 것.
• Vopěnka’s principle를 가정하지 않고 cofibrantly generated model category와 combinatorial model category 간의 동치가 성립하는지 탐색하는 것.
• Quillen equivalent한 combinatorial model category가 존재한다는 것은 Vopěnka’s principle를 함의함을 보여주는 반례를 사용하여 이를 확립하는 것.

제안 방법

• 순서수로 인덱싱된 강성 그래프의 전체 부분범주 A를 사용하여, 국소적으로 현존하지 않는 유계적이고 완비인 범주 K에 자명한 model structure를 구성하는 것.
• K → Set^{A^op}로 가는 표준 함자 E_A를 사용하여 조밀성과 표현 가능성 분석을 수행하고, A는 조밀하지만 K는 국소적으로 현존하지 않음을 보이는 것.
• 약한 인수분해계 (Iso, K)가 비표준 의미에서 국소적으로 현존하지 않는 객체들로 인해 일반화된 의미에서는 cofibrantly generated이지만 표준 의미에서는 아님을 증명하는 것.
• 자명한 model category K와 combinatorial model category M 사이의 Quillen equivalence가 존재한다고 가정하고, 쌍대극한 보존성과 인수분해 성질을 통해 모순을 도출하는 것.
• M에서 λ₀-필터링된 쌍대극한을 보존하는 치환 함자 R가 존재하는 정규 기수 λ₀가 존재함을 이용하여, id₁이 쌍대극한 쌍대원소의 구성요소를 통해 인수분해될 경우 모순이 발생함을 보이는 것.
• 결과 [8]과 [7]을 적용하여, K가 M로부터의 쌍대극한 보존 함자의 전체 상이라면 K는 국소적으로 현존해야 하며, 이는 가정과 모순됨을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 cofibrantly generated model category가 combinatorial model category와 Quillen equivalent일 때 Vopěnka’s principle가 필수적인가?
• RQ2 국소적으로 현존하지 않는 cofibrantly generated model category도 여전히 combinatorial model category와 Quillen equivalent일 수 있는가?
• RQ3 기본적으로 cofibrantly closed 클래스에 기반한 cofibrantly generated weak factorization systems의 일반화된 정의가 표준 정의보다 더 강력한 결과를 도출하는가?
• RQ4 유계적이지만 국소적으로 현존하지 않는 범주에 정의된 자명한 model structure는 일반화된 의미에서 cofibrantly generated인가?
• RQ5 자명한 model category와 Quillen equivalent인 combinatorial model structure의 존재는 국소적 현존성을 함의하는가?

주요 결과

• Vopěnka’s principle는 일반화된 의미에서의 모든 cofibrantly generated model category가 combinatorial model category와 Quillen equivalent임과 논리적으로 동치이다.
• 국소적으로 현존하지 않는 유계적이고 완비인 범주 K에 정의된 자명한 model structure는 (K, Iso)가 일반화된 의미에서는 cofibrantly generated이지만 표준 의미에서는 아님을 보여주는 반례를 제공한다.
• K와 combinatorial model category M 사이의 Quillen equivalence가 존재하면 K는 국소적으로 현존해야 하며, 이는 Vopěnka’s principle의 부정 하에서 K를 구성한 것과 모순된다.
• 증명은 그러한 Quillen equivalence가 존재할 경우, 종단 대상 1에 대한 항등사상이 쌍대극한 쌍대원소의 구성요소를 통해 인수분해되어야 하며, 이는 1이 국소적으로 현존하지 않음을 위반함을 보여준다.
• 적절한 기수의 집합체계가 존재할 조건 하에서, 자명한 model category K가 combinatorial model category를 갖는 것은 K가 국소적으로 현존할 때에만 가능하다.
• 따라서 Vopěnka’s principle 없이도 cofibrantly generated model category 중에서 Quillen equivalent인 combinatorial model category를 갖지 않는 것이 존재한다.