[논문 리뷰] Are the beginning and ending phases of epidemics provided by next generation matrices? -- Revisiting drug sensitive and resistant tuberculosis model

Hyun Mo Yang|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 11.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약물에 민감한 결핵과 약물 내성 결핵의 전파 모델을 재검토하여, 다음 세대 행렬이 동시에 초기 유행 강도(일반 복제 수를 통해)와 최종 유행 규모(감수성 개인의 점 渐진 비율을 통해)를 예측할 수 있음을 보여준다. 다양한 방식으로 다음 세대 행렬을 구성함으로써, 특성 방정식의 계수 합은 일반 복제 수를, 스펙트럼 반경은 최종 감수성 비율과 관련이 있음을 밝혀내어 유행의 시작 단계와 끝 단계를 통합된 프레임워크로 모델링할 수 있음을 제시한다.

ABSTRACT

In epidemiological modelings, the spectral radius of the next generation matrix evaluated at the trivial equilibrium was considered as the basic reproduction number. Also, the global stability of the trivial equilibrium point was determined by the left eigenvector associated to that next generation matrix. More recently, the fraction of susceptible individuals was also obtained from the next generation matrix. By revisiting drug sensitive and resistant tuberculosis model, the gross reproduction number and the fraction of susceptible individuals are calculated. Hence, the next generation matrices shed light to the evolution of the dynamics: the beginning of the epidemics via the reproduction number and the approaching to the epidemics level via the asymptotic fraction of susceptible individuals.

연구 동기 및 목표

• 다음 세대 행렬이 단일 프레임워크 내에서 유행의 시작 단계와 끝 단계를 기술할 수 있는지 조사하기.
• 다양한 전파 경로를 가진 모델에서 기본 복제 수(R₀)와 최종 감수성 비율(s*) 간의 괴리 문제를 해결하기.
• 다른 방식으로 구성된 다음 세대 행렬이 각각 유행 유도의 임계값(일반 복제 수)과 유행 종료의 임계값(점 渐진 감수성 비율)을 제공함을 보여주기.
• 복잡한 전파 역학을 가진 약물에 민감한 및 약물 내성 결핵 전파 모델을 사용하여 이론적 프레임워크를 검증하기.
• 특성 방정식의 계수 합과 스펙트럼 반경이 다중 전파 경로가 존재할 경우 유행 임계값을 결정하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하기.

제안 방법

• 감수성(s), 잠복기(e₁, e₂), 감염성(i₁, i₂) 상태를 포함하는 이전에 수치적으로 분석된 다제내성 결핵 모델을 재검토한다.
• 두 가지 다른 다음 세대 행렬을 구성한다: 하나는 전파 경로를 강조하는(FV⁻¹) 것이고, 다른 하나는 스펙트럼 반경을 통한 안정성 분석을 위한 것이다.
• 다음 세대 행렬의 특성 방정식 계수 합을 이용해 일반 복제 수(Rg = R₀ + Ra)를 유도한다.
• 다음 세대 행렬의 스펙트럼 반경을 사용하여 질병 없는 평형의 전역 안정성을 판단하고, 이를 최종 감수성 비율의 역수와 연결한다.
• 다양한 행렬 구성 방식의 결과를 비교하여, 다중 전파 경로가 존재할 경우 Rg ≠ 1/s*임을 보이며, 단순 SIR 모델과는 다름을 밝힌다.
• SEIR 및 모기 전파를 통한 태생 전파를 가진 딱정벌레 열병 모델과의 비교를 통해 결과를 검증한다. 여기서 s* = 1/R₀ 관계는 단일 경로 전파에서만 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다음 세대 행렬은 유행의 초기 강도와 최종 규모를 동시에 예측할 수 있는가?
• RQ2 다음 세대 행렬의 다양한 구성 방법이 유행 임계값의 해석에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 왜 다중 전파 경로가 존재하는 모델에서는 s* = 1/R₀ 관계가 붕괴되는가?
• RQ4 다음 세대 행렬의 특성 방정식 계수 합과 스펙트럼 반경의 역할은 무엇인가?
• RQ5 일반 복제 수 Rg가 최종 감수성 비율 s*와 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 다음 세대 행렬의 특성 방정식 계수 합은 일반 복제 수 Rg를 산출하며, 이는 초기 유행 잠재력을 반영한다.
• 다음 세대 행렬의 스펙트럼 반경은 최종 감수성 비율의 역수 s*⁻¹과 대응하므로 최종 유행 규모를 예측한다.
• 다양한 전파 경로(예: 약물에 민감한 및 약물 내성 결핵)가 존재하는 모델에서는 Rg ≠ 1/s*이며, 이는 단순한 s* = 1/R₀ 관계가 성립하지 않음을 의미한다.
• 단일 전파 경로만 존재할 경우 기존의 s* = 1/R₀ 관계가 복원되며, 이는 고전적 SIR 모델과의 일관성을 확인한다.
• 다른 행렬 구성 방식은 각각 유행 시작(계수 합을 통한)과 유행 종료(스펙트럼 반경을 통한)의 임계값을 제공한다.
• 계수 합을 합산하는 방법은 다중 감염 경로가 존재하는 복잡한 모델에서 두 유행 임계값을 통합적으로 유도하는 데 효과적인 접근법을 제공한다.