[논문 리뷰] Area laws and efficient descriptions of quantum many-body states

Yimin Ge, Jens Eisert|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 11.

Quantum many-body systems참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 D ≥ 2 차원에서 모든 레니 엔트로피에 대해 면적 법칙을 만족하는 양자 다체 상태가 지수적 차원을 가진 부분공간을 형성할 수 있음을 보여주며, 이는 PEPS나 MERA와 같은 텐서 네트워크로도 효율적으로 기술될 수 없고, 후선택을 동반한 다항식 크기의 양자 회로로도 준비될 수 없음을 의미한다. 핵심 결과는 면적 법칙만으로는 효율적인 고전적 또는 양자적 시뮬레이션을 보장하지 못하며, 양자 다체 물리학에서 널리 공유된 가정에 도전한다.

ABSTRACT

It is commonly believed that area laws for entanglement entropies imply that a quantum many-body state can be faithfully represented by efficient tensor network states - a conjecture frequently stated in the context of numerical simulations and analytical considerations. In this work, we show that this is in general not the case, except in one dimension. We prove that the set of quantum many-body states that satisfy an area law for all Renyi entropies contains a subspace of exponential dimension. Establishing a novel link between quantum many-body theory and the theory of communication complexity, we then show that there are states satisfying area laws for all Renyi entropies but cannot be approximated by states with a classical description of small Kolmogorov complexity, including polynomial projected entangled pair states (PEPS) or states of multi-scale entanglement renormalisation (MERA). Not even a quantum computer with post-selection can efficiently prepare all quantum states fulfilling an area law, and we show that not all area law states can be eigenstates of local Hamiltonians. We also prove translationally invariant and isotropic instances of these results, and show a variation with decaying correlations using quantum error-correcting codes.

연구 동기 및 목표

• 면적 법칙이 PEPS나 MERA와 같은 텐서 네트워크를 통한 효율적 기술을 암시한다는 일반적인 가정을 도전하기 위해.
• 면적 법칙 상태가 낮은 콕모고로프 복잡도를 가진 상태로 근사 가능하거나 효율적인 양자 회로로 준비될 수 있는지 조사하기 위해.
• 물리적으로 관련 있는 양자 상태와 효율적으로 시뮬레이션 가능한 상태 사이의 경계를 명확히 하기 위해, 특히 고차원에서의 경우를 고려하여.
• 비록 이동 대칭성, 회전 대칭성 또는 감쇠하는 상관관계를 가질지라도 면적 법칙 상태가 여전히 효율적 기술을 저항할 수 있음을 입증하기 위해.
• 양자 상의 분류와 양자 시뮬레이션에서 얽힘의 역할에 대한 함의를 탐색하기 위해.

제안 방법

• D차원 격자 위에 (D−1)차원 양자 상태를 D차원 초평면에 임bedding하여 얽힘 구조를 유지하는 방식으로 양자 상태의 가족을 구성한다.
• 임베딩의 기하학적 제약로 인해 모든 레니 엔트로피 Sα에 대해 면적 법칙이 만족되며, 얽힘 엔트로피가 O(|∂A|)로 스케일링됨을 증명한다.
• 통신 복잡도 이론을 활용하여 면적 법칙 상태의 구성된 부분공간이 지수적 차원을 가짐을 보이며, 이는 짧은 고전적 기술이 존재하지 않음을 시사한다.
• 기저 부분공간의 지수적 복잡도로 인해 후선택을 동반한 다항식 크기의 양자 회로로도 모든 면적 법칙 상태를 효율적으로 준비할 수 없음을 보여준다.
• 명시적인 반례를 구성하여 모든 면적 법칙 상태가 국소 해밀토니안의 고유상태는 아니라는 것을 입증한다.
• 이 결과를 이동 및 회전 대칭 설정으로 확장하며, 다항식 감쇠 상관관계를 가진 상태들 역시 여전히 효율적 기술을 저항함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D ≥ 2에서 면적 법칙을 만족하는 모든 양자 다체 상태가 PEPS나 MERA와 같은 텐서 네트워크 상태로 효율적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 후선택을 동반한 다항식 크기의 양자 회로로 모든 면적 법칙 상태를 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ3 면적 법칙이 콕모고로프 복잡도가 다항식인 고전적 기술로 근사 가능한 상태를 암시하는가?
• RQ4 이동 또는 회전 대칭성과 같은 추가 물리적 대칭성을 가진 면적 법칙 상태들도 여전히 효율적 고전적 또는 양자적 시뮬레이션을 저항할 수 있는가?
• RQ5 면적 법칙 상태 중에서 어떤 국소 해밀토니안의 고유상태도 아닌 상태가 존재하는가, 심지어 금속성 시스템에서도 마찬가지로?

주요 결과

• D ≥ 2에서 모든 레니 엔트로피에 대해 면적 법칙을 만족하는 양자 다체 상태의 집합은 차원 exp(Ω(L^{D-1}))의 부분공간을 포함하며, 이는 시스템 크기에 따라 지수적으로 증가한다.
• 이 지수적 부분공간은 PEPS나 MERA를 포함한 다항식 콕모고로프 복잡도를 가진 어떤 고전적 기술로도 근사될 수 없다.
• 후선택을 동반한 양자 회로로도 모든 면적 법칙 상태를 효율적으로 준비할 수 없으며, 이는 기저 부분공간의 지수적 복잡도로 인한 것이다.
• 어떤 국소 해밀토니안의 고유상태도 아닌 면적 법칙 상태가 존재하며, 이는 면적 법칙이 물리적 상태(즉, 기저 상태)임을 암시하지는 않음을 보여준다.
• 이 결과는 이동 대칭성, 회전 대칭성, 다항식 감쇠 상관관계를 가진 상태들에 대해서도 유지된다.
• 통신 복잡도를 활용한 구성은 짧은 고전적 기술이 없는 면적 법칙 상태의 반례를 제공하며, 얽힘 스케일링과 시뮬레이션 가능성 사이의 근본적 격차를 부각시킨다.