[논문 리뷰] Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Pushkar S. Joglekar외 1명|ArXiv.org|2009. 07. 23.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변수 비가환 다항식의 히르미트 곱을 정의하고, 산술 회로 및 대수적 분기 프로그램(ABPs)에서의 복잡도를 규명한다. 비가환 ABP의 항등식 테스팅은 유리수 위에서 C=L-완비이며, 특성 p의 유한체 위에서는 ModpL/poly에 속한다. 주요 기여는 레즈-예후다요프 다항식을 두 개의 단조 다항식의 히르미트 곱으로 표현할 경우 지수적 하한을 도출하는 것으로, 페르만과는 대조적으로 이는 다항식 크기의 표현을 허용한다.

ABSTRACT

Motivated by the Hadamard product of matrices we define the Hadamard product of multivariate polynomials and study its arithmetic circuit and branching program complexity. We also give applications and connections to polynomial identity testing. Our main results are the following. 1. We show that noncommutative polynomial identity testing for algebraic branching programs over rationals is complete for the logspace counting class $\ceql$, and over fields of characteristic $p$ the problem is in $\ModpL/\Poly$. 2.We show an exponential lower bound for expressing the Raz-Yehudayoff polynomial as the Hadamard product of two monotone multilinear polynomials. In contrast the Permanent can be expressed as the Hadamard product of two monotone multilinear formulas of quadratic size.

연구 동기 및 목표

• 산술 회로 복잡도의 맥락에서 다변수 비가환 다항식의 히르미트 곱을 정의하고 분석하기.
• 유리수 및 유한체 위에서 대수적 분기 프로그램(ABPs)에 대한 비가환 다항식 항등식 테스팅(PIT)의 복잡도를 규명하기.
• 일부 명시적 단조 다항식 다항식을 두 개의 단조 다항식 다항식의 히르미트 곱으로 표현할 경우 지수적 하한을 확립하기.
• 히르미트 곱 프레임워크를 이용해 유리수 위에서 비가환 ABP 항등식 테스팅을 정밀하게 특성화하기.
• 히르미트 곱의 표현 능력이 레즈-예후다요프 다항식과 페르만 사이에서 어떻게 다를지 대조하여, 회로 복잡도의 근본적 비대칭성을 보여주기.

제안 방법

• 두 비가환 다항식 f와 g의 히르미트 곱을 f ◦g = Σ_m a_m b_m m로 정의한다. 여기서 f = Σ_m a_m m, g = Σ_m b_m m이며, m은 자유 모노이드 X*의 단항식이다.
• Nisan의 커뮤니케이션 행렬의 질량에 의한 ABP 복잡도 특성화를 활용하여, f ◦g의 ABP 크기를 f와 g의 ABP 크기의 곱으로 상한화한다.
• 행렬의 히르미트 곱에 대한 질량 기반 상한을 이용해, f ◦g에 대한 ABP를 계산하는 결정론적 로그공간 알고리즘을 제안한다.
• 명시적 레즈-예후다요프 다항식 F와 1/3-곱 다항식의 곱 사이의 상관관계 분석을 통해 하한을 도출한다.
• 레즈와 예후다요프의 레미마 3을 적용하여, 단조 다항식 다항식을 1/3-곱 다항식의 합으로 표현한다.
• 삼각 부등식과 레미마 2의 상관관계 상한을 이용해, 단조 회로가 히르미트 곱 표현을 계산할 경우의 크기 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 위에서 비가환 다항식 항등식 테스팅(ABP)의 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 두 다항식의 히르미트 곱은 특히 단조 설정에서 그 회로 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 레즈-예후다요프 다항식은 두 개의 작은 크기의 단조 다항식 다항식의 히르미트 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 다항식의 히르미트 곱과 C=L 및 ModpL 복잡도 클래스 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 단조 다항식 다항식 설정에서 히르미트 곱의 표현 능력은 페르만과 레즈-예후다요프 다항식 사이에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 유리수 위에서 비가환 ABP 항등식 테스팅은 C=L-완비이며, 복잡도 특성화가 정확하다.
• 특성 p의 유한체 위에서 비가환 ABP 항등식 테스팅은 ModpL/poly에 속하며, 로그공간 다대일 축소에 대해 NL 및 ModpL 둘 다 하드하다.
• 레즈-예후다요프 다항식은 각각 크기가 2^αn 미만인 단조 회로로 계산되는 두 개의 단조 다항식 다항식의 히르미트 곱으로 표현될 수 없다. 여기서 α > 0은 절대 상수이다.
• 페르만은 두 다항식 다항식의 히르미트 곱으로 표현 가능한 다항식 크기의 단조 다항식 공식화를 가지며, 이는 레즈-예후다요프 다항식과 대조적으로 뚜렷한 대비를 이룬다.
• 레즈-예후다요프 다항식 F와 임의의 1/3-곱 다항식의 곱 f1 ◦ f2 사이의 상관관계는 2^−αn ||F|| ||f1 ◦ f2|| 이하이며, 이는 하한 증명을 가능하게 한다.
• 하한 구축 과정을 통해, 지수 크기의 단조 회로가 필요한 명시적 단조 다항식 다항식 F′ ∈ ℚ[x1,…,xn]을 얻을 수 있다.