[논문 리뷰] Arithmetic degrees of special cycles and derivatives of Siegel Eisenstein series

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 37인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Kudla가 제기한 추측을 증명하며, 정수적 도수를 가진 특수 사이클의 도수와 비일관적인 Siegel Eisenstein 급수의 중심 도수 사이의 관계를 밝혀낸다. 아치메데스 및 비아치메데스 자리에서의 새로운 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식을 사용하여, $T$가 정부정적이지 않은 경우 비특이 인덱스 $T$에 대해, 그리고 $T$가 정부정적일 때 해당 사이클의 차원이 0인 경우에 대해 등식을 확립한다.

ABSTRACT

Let V be a rational quadratic space of signature (m,2). A conjecture of Kudla relates the arithmetic degrees of top degree special cycles on an integral model of a Shimura variety associated with SO(V) to the coefficients of the central derivative of an incoherent Siegel Eisenstein series of genus m+1. We prove this conjecture for the coefficients of non-singular index T when T is not positive definite. We also prove it when T is positive definite and the corresponding special cycle has dimension 0. To obtain these results, we establish new local arithmetic Siegel-Weil formulas at the archimedean and non-archimedian places.

연구 동기 및 목표

• 정수적 모델을 가진 올 orthogonal Shimura 다양체 위의 최고차수 특수 사이클의 정수적 도수와 비일관적인 Siegel Eisenstein 급수의 중심 도수 계수 사이의 Kudla의 추측을 증명한다.
• 클래식한 Siegel-Weil 공식을 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식을 통해 정수적 설정으로 확장한다. 이는 아치메데스 및 비아치메데스 자리에서의 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식을 수립함으로써 이루어진다.
• 비특이 인덱스 $T$에 대해 $T$가 정부정적이지 않은 경우와, 정부정적 $T$이지만 해당 특수 사이클의 차원이 0인 경우에 대해 추측을 검증한다.
• Siegel 모듈러 형식과 $L$-함수의 관점에서 특수 사이클의 정수적 교차 이론을 보다 정교하게 이해한다.
• 정수적 Siegel-Weil 공식을 $p$-adic 기여와 아치메데스 기여를 포함하도록 일반화하여, $p$-unimodular 격자와 국소 시스템의 맥락에서 적용한다.

제안 방법

• 대칭 공간 $\mathcal{D}$ 위에서 Weil 표현과 테타 급수를 사용하여 아치메데스 및 비아치메데스 자리에서 새로운 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식을 수립한다.
• Kudla-Millson의 Schwartz 형식 $\varphi_{KM}^n(x,z)$를 사용하여, $\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$에 대해 무게 $\kappa = 1 + m/2$로 변환되는 테타 급수 $\theta_{KM}^n(\tau,\varphi,z,h)$를 구성한다.
• Shimura 다양체 $X_K$ 위에서 테타 급수를 적분하여 특수 사이클의 도수의 생성 급수를 얻으며, 이 급수가 Siegel Eisenstein 급수와 일치함을 보인다.
• 이중화 방법과 $p$-adic 균형화를 적용하여, 정수적 도수 $\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T))$를 표준 $L$-함수의 도수와 $W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))$를 통해 연결한다.
• Eisenstein 급수의 푸리에 계수와 정수적 도수를 일치시키기 위해 정규화 상수 $C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$를 사용한다.
• She의 [Theorem 1.2]에서 얻은 $p$-adic 균형화 항등식을 활용하여, $\mathcal{X}_{K_1} \to \mathcal{X}_K$의 내림을 통해 일반적인 컴acts 오픈 부분군 $K$로 공식을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수적 도수를 가진 최고차수 특수 사이클의 정수적 도수와 비일관적인 Siegel Eisenstein 급수의 중심 도수 계수 사이에 일치가 이루어지는가?
• RQ2 전역 추측을 뒷받침하기 위해 아치메데스 및 비아치메데스 자리에서 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 인덱스 $T$가 정부정적이지 않거나 사이클의 차원이 0인 경우 정수적 도수가 어떻게 행동하는가?
• RQ4 정수적 도수와 Eisenstein 급수의 도수 사이의 정확한 정규화 상수는 무엇인가?
• RQ5 이 추측은 $p$-unimodular 격자와 작은 수준의 부분군을 초월하여 어느 정도 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 비특이 인덱스 $T$에 대해 $T$가 정부정적이지 않은 경우, 추측이 증명되었으며, 정수적 도수와 비일관적인 Siegel Eisenstein 급수의 중심 도수 사이의 정확한 연결고리를 확립하였다.
• 정부정적 $T$이지만 해당 특수 사이클의 차원이 0인 경우에도 추측이 증명되었으며, 이는 0차원 사이클의 경우에도 적용 가능함을 보여준다.
• 유한 소수 $p$에서의 정수적 도수는 $\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T)) = C_{n,p} \cdot E_T'(\tau,0,\lambda(\varphi_L)\otimes\Phi_\kappa)$로 주어지며, $C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$이다.
• 아치메데스 기여는 $-\frac{1}{2}B_{n,\infty} \cdot W_{T,\infty}(1,0,\Phi_\kappa) = e^{-2\pi \operatorname{tr} T}$를 만족하며, 이는 생성 급수에서 $q^T$를 유도한다.
• 내림을 통해 더 큰 수준의 구조에서 내림을 통해, 모든 $K$-불변 Schwartz 함수 $\varphi$와 충분히 작은 컴팩트 오픈 부분군 $K$에 대해 공식이 성립한다.
• 특정 $p$-adic 자리에서의 국지적 정수적 Siegel-Weil 공식의 변형은 $p < \infty$일 때 $\mathrm{ht}_p(x)\log p = \frac{W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}{W_{\tilde{T},p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}$로 주어지며, 무한대 자리에서는 유사한 표현이 $\frac{1}{2}$의 계수를 포함한다.