[논문 리뷰] Arithmetic E_8 lattices with maximal Galois action

Anthony Várilly‐Alvarado, David Zywina|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Q(t) 상의 타원곡선과 1차 del Pezzo 표면에서 유래하는 E8 격자에 대한 명시적 산술 예제를 구성한다. 이 격자의 갈루아 작용은 전체 와일 군 W(E8)와 동형이며, 최대이다. Weierstrass 모델과 105를 법으로 정의된 del Pezzo 표면을 사용하여, E8 격자 위의 갈루아 표현이 전사임을 증명함으로써, W(E8)를 갈루아 군으로 가지는 Q의 무한히 많은 선형 독립인 갈루아 확대를 얻는다.

ABSTRACT

We construct explicit examples of E_8 lattices occurring in arithmetic for which the natural Galois action is equal to the full group of automorphisms of the lattice, i.e., the Weyl group of E_8. In particular, we give explicit elliptic curves over Q(t) whose Mordell-Weil lattices are isomorphic to E_8 and have maximal Galois action. Our main objects of study are del Pezzo surfaces of degree 1 over number fields. The geometric Picard group, considered as a lattice via the negative of the intersection pairing, contains a sublattice isomorphic to E_8. We construct examples of such surfaces for which the action of Galois on the geometric Picard group is maximal.

연구 동기 및 목표

• Mordell-Weil 격자 또는 기하적 피카르 군 위의 갈루아 작용이 가능한 한 큰 산술적 맥락에서 E8 격자의 명시적 예제를 구성하는 것.
• 타원 곡면과 del Pezzo 표면에서 유래하는 산술 격자를 통해 Q 위에서 전체 와일 군 W(E8)를 갈루아 군으로 실현하는 것.
• Mordell-Weil 격자가 E8와 동형이며 최대 갈루아 작용을 지닌 Q(t) 상의 타원곡선에 대한 구조적, 명시적 Weierstrass 모델을 제공하는 것.
• 1차 del Pezzo 표면의 기하적 피카르 군에서 정규화된 계수의 직교보완부분군 위의 갈루아 작용이 W(E8)로 전사임을 보이는 것.

제안 방법

• a(t), b(t), c(t)가 각각 차수 ≤2, 4, 6인 다항식이며, 105를 법으로 특정 합동식을 만족하는 Weierstrass 모델 y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t)를 통해 Q(t) 상의 타원곡선 E를 구성한다.
• Mordell-Weil 격자의 이론을 사용하여, E(Q(t))/E(Q(t))tors가 갈루아 모듈로서 E8 격자와 동형임을 보인다.
• 계수들이 105를 법으로 하는 합동식을 만족하는 가중 투영 공간 상의 동차 6차 방정식을 통해 Q 상의 1차 del Pezzo 표면을 구성한다.
• 갈루아 표현의 명시적 계산을 통해 기하적 피카르 군에서 정규화된 계수의 직교보완부분군 K⊥_X 위의 갈루아 작용이 W(E8)와 동형임을 증명한다.
• 블로우업과 딜레어의 인덕션을 통한 딜레어의 인덕션을 통해 타원 곡면의 Mordell-Weil 격자와 del Pezzo 표면의 피카르 군 내의 E8 격자 간의 동형을 확립한다.
• 네론-세버리 군과 정규화된 높이 쌍의 알려진 결과를 활용하여, 기저 변경과 몫 사상 하에서 격자 및 갈루아 모듈의 구조가 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mordell-Weil 격자가 E8와 동형이며 W(E8)와 동형인 최대 갈루아 작용을 지닌 Q(t) 상의 명시적 타원곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기하적 피카르 군(특히 K⊥_X) 위의 갈루아 작용이 W(E8)로 전사인 Q 상의 1차 del Pezzo 표면이 존재하는가?
• RQ3 다항식 계수들이 105를 법으로 하는 합동식을 만족하는 Weierstrass 모델을 통해 이러한 갈루아 작용을 실현할 수 있는가?
• RQ4 산술 격자를 사용하여 W(E8)를 갈루아 군으로 가지는 Q의 무한히 많은 선형 독립인 갈루아 확대를 구성할 수 있는가?
• RQ5 1차 del Pezzo 표면의 기하학은 타원 곡면의 산술과 그들의 Mordell-Weil 격자와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 105를 법으로 지정된 합동식을 만족하는 a(t), b(t), c(t)를 가진 Q(t) 상의 타원곡선 E: y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t)는 Mordell-Weil 군 E(Q(t))가 자명한 토크션을 지닌 E8 격자와 동형이다.
• 갈루아 군 Gal(Q/Q)은 E(Q(t)) 위에 전체 와일 군 W(E8)와 동형인 작용을 하며, 이는 작용이 최대임을 의미한다.
• 105를 법으로 하는 합동식 (1.3)을 만족하는 계수를 가진 6차 다항식 f에 의한 가중 투영 공간 상의 del Pezzo 표면 X는 Q 상의 1차 표면이며, 기하적 피카르 군에 E8 격자를 포함한다.
• 갈루아 표현 φX: Gal(Q/Q) → O(K⊥_X)는 전사이며, 따라서 이미지는 W(E8)와 동형이므로, E8 격자 위의 갈루아 작용이 최대임을 확인한다.
• 형식 (1.2)의 유리점으로부터 계수를 제거하여 얻은 다항식의 분할체 LX는 갈루아 군이 W(E8)와 동형이며, 이러한 체 LX는 Q 위에서 선형 독립이다.
• 합동식 (1.3)을 만족하는 정의 다항식 f를 변화시킴으로써, W(E8)를 갈루아 군으로 가지는 Q의 무한히 많은 선형 독립인 갈루아 확대를 구성한다.