[논문 리뷰] Arithmetic functions at consecutive shifted primes

Paul Pollack, Lola Thompson|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 17.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 {φ, σ, ω, τ}에 속하는 임의의 산술 함수에 대해, K개의 연속된 이동된 소수(pₙ−1, ..., pₙ₊ₖ₋₁−1)에서 함수 값이 엄격히 증가하거나 감소하는 경우가 무한히 존재함을 보여준다. 이는 메이너드–탈 방법을 이용하여 이러한 단조성 행동이 무한히 반복됨을 증명하며, 또한 연속된 소수에서의 자릿수 합 함수 s₉(p) 역시 임의로 긴 일정, 증가, 감소 구간을 가짐을 보이며, 검증되지 않은 추측을 가정하지 않고 오랫동안 남아 있던 시에르피ńsk이의 질문을 해결한다.

ABSTRACT

For each of the functions $f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$ and every natural number $k$, we show that there are infinitely many solutions to the inequalities $f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$, and similarly for $f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$. We also answer some questions of Sierpiński on the digit sums of consecutive primes. The arguments make essential use of Maynard and Tao's method for producing many primes in intervals of bounded length.

연구 동기 및 목표

• f ∈ {φ, σ, ω, τ}인 산술 함수에 대해, K개의 연속된 이동된 소수에서 함수 값이 엄격히 증가하거나 감소하는 경우가 무한히 존재함을 입증하는 것.
• 연속된 소수에서의 자릿수 합 s₉(p)가 임의로 긴 길이의 일정, 증가, 감소 구간을 가질 수 있는지에 대한 시에르피ńsk의 1961년 질문을 해결하는 것.
• 메이너드–탈 방법을 이용하여 이동된 소수에서 산술 함수의 단조적 행동이 디크슨의 추측이나 가설 H와 같은 검증되지 않은 추측에 의존하지 않고도 존재함을 보이는 것.
• 메이너드–탈 방법을 확장하여 이동된 소수의 인자에서 곱셈적 및 덧셈적 함수를 다룰 수 있도록 하며, 특히 유한 간격의 소수에 대한 응용을 포함한다.

제안 방법

• 유한 간격 내에서 많은 소수를 생성하는 데 쓰이는 메이너드–탈 방법을 활용하며, 이를 연속된 소수 pₙ에 대해 pₙ−1에서의 산술 함수 값 분석에 적응시킨다.
• 소수의 작은 모듈로에서의 국소적 행동을 제어하기 위해 W = ∏_{p ≤ log₃ N} p를 이용한 사전 걸러내기 조건을 적용하여 이동된 소수의 유리한 분포를 확보한다.
• S₁과 S₂라는 가중 합을 사용하여 n + H의 다수의 원소가 소수인 구성 요소를 탐지하며, S₂/S₁ > K−1이면 튜플에 최소 K개의 소수가 존재함을 의미한다.
• 제곱완전한 약수의 구조와 소인수 분해 수량(ϱ(n)을 통해)을 활용하여, n + hᵢ − 1에서 높은 승수를 가진 소인수가 많은 n의 수를 제한한다.
• Banks–Freiberg–Turnage-Butterbaugh에서 유도된 메이너드–탈 정리의 변종을 적용하여, K개의 연속된 소수를 포함하는 등차수열을 구성하며, 원하는 자릿수 합 성질을 가진다.
• Drmota–Mauduit–Rivat 정리에 의해 자릿수 합 s₉(p)의 점근적 등분포를 활용하여, 이진 간격 내에서 특정 자릿수 합 값을 가진 소수를 선택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 φ(pₙ−1) < φ(pₙ₊₁−1) < ⋯ < φ(pₙ₊ₖ₋₁−1)를 만족하는 K개의 연속된 소수의 무한한 연속 구간이 존재하는가?
• RQ2 σ(pₙ−1), ω(pₙ−1), τ(pₙ−1)에 대해서도 임의로 긴 K에 대해 동일한 단조적 행동이 발생하는가?
• RQ3 연속된 소수의 자릿수 합 s₉(p)가 무한히 긴 길이의 일정, 증가, 감소 연속 구간을 가질 수 있는가?
• RQ4 디크슨의 소수 k-튜플 추측이나 가설 H에 의존하지 않고 이러한 연속 구간의 존재를 무조건적으로 증명할 수 있는가?
• RQ5 메이너드–탈 방법을 소수 자체가 아닌 이동된 소수에서 산술 함수를 분석할 수 있도록 변형할 수 있는가?

주요 결과

• 각 f ∈ {φ, σ, ω, τ}와 모든 K ≥ 1에 대해, f(pₙ−1) < f(pₙ₊₁−1) < ⋯ < f(pₙ₊ₖ₋₁−1)를 만족하는 무한히 많은 n이 존재한다.
• 동일하게, 각 f와 K에 대해 f(pₙ−1) > f(pₙ₊₁−1) > ⋯ > f(pₙ₊ₖ₋₁−1)를 만족하는 무한히 많은 n이 존재한다.
• 임의의 g ≥ 2에 대해, s₉(p)가 일정한 K개의 연속된 소수의 무한한 연속 구간이 존재한다.
• 모든 K에 대해, s₉(p)가 엄격히 증가하거나 엄격히 감소하는 K개의 연속된 소수의 무한한 연속 구간이 존재한다.
• 결과는 무조건적이다: 디크슨의 추측이나 가설 H에 의존하지 않으며, 시에르피ńsk의 질문을 확실히 해결한다.
• 이 방법은 메이너드–탈 기계장치를 복합적인 산술 함수의 값이 이동된 소수에서 취해지는 경우에도 성공적으로 확장하여, 소수 탐지 외의 범위로 그 적용을 넓혔다.