[논문 리뷰] Arithmetic, geometry and dynamics in the unit tangent bundle of the modular orbifold

Alberto Verjovsky|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모듈라 오비폴드의 단위 접선(bundle) 위에서의 고르세클 플로우의 역학과 리만 가설 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 기하학적 및 에르고딕 이론적 방법을 사용하여, 특정 에르고딕 측도가 불변 측도로 수렴하는 속도는 $ o(y^{1/2}) $를 초과할 수 없음을 증명한다. 이는 '상자'의 특성 함수에 대해 지수 $ 1/2 $ 가 최적이며, 이 결과는 리만 가설이 비-$ L^1 $ 함수에 대해 리만-레베그 보조정리의 실패와 관련된 정규성 문제라는 것을 시사한다.

ABSTRACT

Inspired by the work of Zagier, we study geometrically the probability measures $m_y$ with support on the closed horocycles of the unit tangent bundle $M= ext{PSL}(2,\mathbb{R})/ ext{PSL}(2,\mathbb{Z})$ of the modular orbifold $ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$. In fact, the canonical projection $\mathfrak{p}:M o\mathbb{H}/ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$ it is actually a Seifert fibration over the orbifold with two especial circle fibers corresponding to the two conical points of the modular orbifold. Zagier proved that $m_y$ converges to normalized Haar measure $m_o$ of $M$ as $y o0$: for every smooth function $f:M o \mathbb R$ with compact support $m_y(f)=m_0(f)+o(y^\frac12)$ as $y o0$. He also shows that $m_y(f)=m_0(f)+o(y^{\frac34-ε})$ for all $ε>0$ and smooth function $f$ with compact support in $M$ if and only if the Riemann hypothesis is true. In this paper we show that the exponent $\frac12$ is optimal if $f$ is the characteristic function of certain open sets in $M$. This of course does not imply that the Riemann hypothesis is false. It is required the differentiability of the functions in the theorem.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 오비폴드의 단위 접선(bundle) 위에서 고르세클 플로우의 에르고딕 측도 $ m_y $ 가 불변 측도 $ \overline{m} $ 로 수렴하는 속도를 조사한다.
• 자그리어의 기준에 따르면 리만 가설을 특징짓는 지수 $ 3/4 - \epsilon $ 가 매끄러운 함수에 대해 달성 가능한지 결정한다.
• 이 동역학계에서 '상자'의 특성 함수에 대해 지수 $ 1/2 $ 가 최적이며, 이는 수렴 속도를 향상시키는 데 근본적인 장애가 있음을 시사한다.

제안 방법

• 기하학적 및 군론적 기법을 사용하여 $ m_y $ 가 $ \overline{m} $ 로 수렴하는 분석을 평면 내 격자점 수세기 문제로 환원한다.
• 단위 접선(bundle) $ T_1\mathbb{H} $ 위의 역학을 모델링하기 위해 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 와 그 이산 몫 $ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) $ 의 작용을 사용한다.
• 매끄럽고 compactly 지지된 함수에 대해 포아송 합성공식을 적용하여,Fourier 변환의 급속한 감쇠 덕분에 오차 항이 $ y $ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 감쇠됨을 보여준다.
• 모든 정규화된 하르 측도 $ \overline{m} $ 를 보존하는 일파라미터 부분군 $ h_t^+ $, $ h_t^- $ 과 지오데식 플로우 $ g_t $ 를 통해 고르세클 플로우를 분석한다.
• 다니의 정리에 기반하여, 주기 $ y^{-1} $ 를 가진 닫힌 고르세클 원 위에 지지된 에르고딕 측도 $ m_y $ 가 $ y \to 0 $ 일 때 약한* 수렴함을 증명한다.
• 메린 변환과 아이젠스타인 급수를 사용하여 동역학을 산술 함수, 특히 오일러 피 함수 $ \varphi(n) $ 와 연결하고 리만 제타 함수와 연관시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설을 특징짓는 수렴 속도 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $ 가 모든 매끄러운 함수 $ f $ 에 대해 달성 가능한가?
• RQ2 특성 함수가 '상자'일 경우 수렴의 오차 항에서 지수 $ 1/2 $ 가 최적이며, $ m_y $ 가 $ \overline{m} $ 로 수렴할 때 더 이상 향상시킬 수 없는가?
• RQ3 지수 $ y^{1/2} $ 의 최적성의 기하학적 및 역학적 이유는 무엇이며, 격자점 수세기 문제의 고전적 원 문제와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 비-$ L^1 $ 함수에 대해 리만-레베그 보조정리가 실패할 때 이 동역학계에서 어떻게 나타나며, 왜 이것이 리만 가설을 정규성 문제로 만드는가?
• RQ5 고르세클 측도와 디리클레 급수 사이의 연결 고리, 특히 오일러 피 함수를 통해 새로운 산술 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 특성 함수가 '상자'인 경우, 수렴 속도 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{1/2}) $ 는 최적이며, 지수 $ 1/2 $ 는 향상시킬 수 없다.
• 리만 가설은 모든 매끄럽고 컴팩트하게 지지된 함수 $ f $ 에 대해 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $ 라는 조건과 동치이지만, 이 경계는 특성 함수에 대해 달성될 수 없다.
• 비-$ L^1 $ 함수에 대해 리만-레베그 보조정리의 실패가 지수 $ y^{1/2} $ 가 최적이 되는 근본적 이유이며, 이는 리만 가설이 본질적으로 정규성 조건임을 강조한다.
• 매끄럽고 컴팩트하게 지지된 함수 $ f $ 에 대해 오차 항 $ |m_y(f) - \overline{m}(f)| $ 는 포아송 합성공식에 의해 $ f $ 의Fourier 변환의 급속한 감쇠 덕분에 $ y $ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 감쇠된다.
• 오일러 피 함수 $ \varphi(n) $ 와 관련된 측도 $ \nu_{y,\varphi} $ 의 메린 변환은 리만 가설이 오차 항 $ y^2 \nu_{y,\varphi}(g) = \int_0^\infty \frac{6}{\pi^2} u g(u) du + o(y^{3/2 - \epsilon}) $ 로 수렴함을 보여주며, $ y \to 0 $ 일 때 성립함을 시사한다.
• 수렴 문제를 평면 내 격자점 수세기 문제로 기하학적으로 환원함으로써, $ y^{1/2} $ 경계는 상대적으로 소수인 격자점이 있는 고전적 원 문제의 오차 항과 유사함을 드러낸다.