[논문 리뷰] Arithmetic matrices for number fields I

Samuel A. Hambleton|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 29.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수체의 대수적 정수를 정수 행렬로 표현하는 산술 행렬을 도입하여, 선형 대수학을 이용해 덧셈, 곱셈, 역행렬, 추적, 노름의 효율적 계산을 가능하게 한다. 주요 기여는 정수 기저와 체의 임bedding으로부터 유도된 행렬 표현 $ M_{\bb{E}}^{(\theta)} $이며, 이는 대각화를 통해 대수적 불변량을 드러내고 행렬의 행렬식 곱셈성질을 통해 브라마푸트라의 항등식을 일반화한다.

ABSTRACT

We provide a simple way to add, multiply, invert, and take traces and norms of algebraic integers of a number field using integral matrices. With formulas for the integral bases of the ring of integers of at least a significant proportion of numbers fields, we obtain explicit formulas for these matrices and discuss their generalization. These results are useful in proving statements about the particular number fields they work in. We give a meaningful diagonalization that is helpful in this regard and can be used to define such matrices in general. The matrix identities provided suggest that consideration of numerical methods in linear algebra may have applications in algebraic number theory. Multiplication of several algebraic integers at once might be more efficiently implemented using methods of efficient matrix multiplication. If we are multiplying an algebraic integer in a field of degree $n$ by each of $n$ algebraic integers, then this can be done in $O \left( n^{\log_2(7)} ight)$ multiplications. The matrix identities given here generalize Brahmagupta's identity upon taking determinants, which are multiplicative.

연구 동기 및 목표

• 수체의 대수적 정수에 대한 산술 연산을 정수 행렬을 사용하여 체계적으로 수행하는 방법을 개발하기 위해.
• 기존의 삼차 수체에 대한 결과를 고차수 수체로 일반화하기 위해 행렬 표현을 사용하기 위해.
• 행렬 연산을 통해 추적, 노름, 이상적 곱의 효율적 계산을 가능하게 하기 위해.
• 특히 빠른 행렬 곱셈 기법을 선형 대수학 기법과 결합하여 대수적 수론에 적용하기 위해.
• 대각화된 행렬 형태를 통해 수체에 관한 증명을 단순화하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정된 정수 기저 $ \{\rho_0, \dots, \rho_{n-1}\} $를 사용하여 대수적 정수 $ \alpha = \sum_{j=0}^{n-1} x_j \rho_j $를 표현하는 $ n \times n $ 행렬 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $를 구성한다.
• 최소 다항식의 계수와 기저 원소를 포함하는 재귀 공식을 통해 행렬 원소를 정의하며, $ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E} $일 경우 정수 원소를 보장한다.
• 행렬의 대각화 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} = \Gamma_{\bb{E}}^{-1} \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} \Gamma_{\bb{E}} $를 수립하며, 여기서 $ \Gamma_{\bb{E}} $는 임베딩을 표현하고 $ \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} $는 대각선에 $ \kappa_i(\alpha) $를 가진 대각행렬이다.
• 행렬 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $를 사용하여 추적과 노름을 각각 행렬의 추적과 행렬식으로 계산한다.
• 빠른 행렬 곱셈 알고리즘(예: 스트라센 알고리즘)을 적용하여 $ \alpha $와 $ n $개의 대수적 정수의 곱셈 복잡도를 $ O(n^{\log_2 7}) $로 감소시킨다.
• 행렬식 곱셈성질을 통해 브라마푸트라의 항등식을 일반화한다: $ \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)}) = \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)}) $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체의 대수적 정수는 정수 행렬을 사용하여 효율적으로 표현하고 연산할 수 있는가?
• RQ2 행렬 표현은 수체의 이상적 및 격자에 관한 증명을 어떻게 단순화하는가?
• RQ3 행렬 방법을 사용할 때, 수체의 차수 $ n $에서 $ \alpha $와 다른 $ n $개의 대수적 정수를 곱하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 빠른 행렬 곱셈 알고리즘은 대수적 수론에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?
• RQ5 산술 행렬의 대각화된 형태는 수체의 대수적 불변량을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 행렬 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $는 곱셈에 의한 작용을 정수 기저에 대해 표현하는 대각화 가능한 행렬 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $와 동일하다.
• 행렬 덧셈과 곱셈은 대수적 정수의 덧셈과 곱셈과 정확히 일치한다: $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} + N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha + \beta)} $ 및 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)} $.
• 행렬 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $의 추적은 $ \alpha $의 체 추적과 같으며, 그 행렬식은 $ \alpha $의 체 노름과 같다.
• $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $의 역행렬은 $ N_{\bb{E}}^{(1/\alpha)} $에 대응하므로, $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $는 $ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E}^\times $일 때에만 가역적이다.
• $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $가 정수 원소를 가진다면, 그리고 오직 그 때에만 $ \alpha $는 $ \mathcal{O}_\bb{E} $의 대수적 정수이다.
• $ \alpha $와 $ n $개의 대수적 정수를 곱하는 데에는 빠른 행렬 곱셈을 사용하여 $ O(n^{\log_2 7}) $회의 곱셈으로 수행할 수 있다.