[논문 리뷰] Arithmetical Aspects of Beurling's Real Variable Reformulation of the Riemann Hypothesis

Luis Báez‐Duarte|ArXiv.org|2000. 11. 29.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원시적 수론적 방법을 사용하여 리만 가설에 대한 Nyman-Beurling 기준의 산술적 등가를 수립한다. $ G_n $의 $ L_p $-노름에서 $ \rho(x)\theta^{-1} $로의 수렴이 $ \Re(s) > 1/p $ 에서 리만 제타 함수의 영이 존재하지 않음을 동치로 이끌며, 고전적 근사값들이 $ L_2 $ 에서 발산함을 보여, 이러한 방법으로 가설을 증명하는 데의 난이도를 강화한다.

ABSTRACT

The paper presents two arithmetical versions of the Nyman-Beurling equivalence with the Riemann hypothesis, proved by classical, quasi elementary, number-theoretic methods, based on an integrated version of the classical combinatorial identity for Moebius numbers. These proofs also give insight into the troublesome phenomenon that many natural sequences of Beurling functions tending to the indicator function of (0,1) both pointwise and in L1 norm do not converge in L2 norm.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설에 대한 Nyman-Beurling 기준을 $ L_p $-공간에서 원시적, 수론적 방법으로 증명하는 것.
• $ \lambda(x) = \chi(x)\log x $ 로의 자연스러운 산술 근사값의 $ L_p $-노름 수렴 행동을 조사하는 것.
• 고전적 근사값인 $ S_n $, $ B_n $, $ F_n $ 가 점별 수렴 및 $ L_1 $ 수렴을 보일지라도 $ L_2 $ 에서 발산함을 보이는 것.
• $ \|M_1\|_p < \infty $ 가 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ 와 동치임을 증명하여 $ M(x) $ 의 산술적 성장과 근사 이론을 연결하는 것.
• $ \zeta(s) $ 가 $ \Re(s) = 1/p $ 에 영을 가질 경우, 자연 부분공간 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 내의 어떤 급수도 $ -\chi $ 로 $ L_p $ 에 수렴할 수 없음을 증명하는 것. 특히 $ L_2 $ 에서는 수렴 불가.

제안 방법

• $ G_n(x) = \int_{1/n}^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $ 를 정의하여, $ \lambda(x) $ 로의 $ L_p $-근사값 수열로 사용. 여기서 $ M_1(\theta) = M(1/\theta) $ 이다.
• $ \lambda(x) = \int_0^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $ 라는 항등식을 사용하여 $ \lambda $ 를 $ \mathcal{B} $ 의 함수의 극한으로 표현함으로써 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ 를 시사한다.
• 합분할 적분법과 모비우스 함수 $ \mu(k) $ 의 고전적 추정, 특히 $ M(x) \ll x(\log x)^{-2} $ 를 사용하여 $ \|G_n - \lambda\|_p $ 를 분석한다.
• $ Uf(x) = f(x) - f(x/2) $ 로 정의된 연산자 $ U $ 를 사용하여 근사값의 $ L_2 $-노름을 분석하고, 가정된 수렴으로부터 모순을 이끌어낸다.
• $ \|M_1\|_p < \infty $ 이고 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ 이며 동치임을 증명하여 $ M_1 $ 의 $ L_p $-적분 가능성과 근사 성질을 연결한다.
• 계수 수렴 $ a_{n,k} \to \mu(k) $ 가 점별 수렴 하에 성립한다는 보조정리를 사용하여, $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 내의 $ L_p $-수렴 급수는 반드시 발산하는 자연 근사값 $ V_n $ 이어야 함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ G_n $ 이 $ \lambda $ 로의 $ L_p $-노름 수렴이 $ \Re(s) > 1/p $ 에서 $ \zeta(s) $ 가 영이 아님을 의미하는가?
• RQ2 $ S_n $, $ B_n $, $ F_n $ 와 같은 고전적 근사값이 점별 수렴 및 $ L_1 $ 수렴을 보일지라도 $ L_2 $ 수렴이 가능한가?
• RQ3 $ \zeta(s) $ 가 $ \Re(s) = 1/p $ 에 영을 가질 경우, 자연 부분공간 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 내의 어떤 급수도 $ -\chi $ 로 $ L_p $ 에 수렴할 수 있는가?
• RQ4 $ M_1(\theta) $ 의 $ L_p $-적분 가능성과 $ \mathcal{B} $ 가 $ L_p(0,1) $ 에 밀도를 이룰 때의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 $ B_n $ 과 $ F_n $ 의 $ L_2 $-노름은 어떻게 행동하는가? 그리고 $ L_2 $ 에서 수렴하는 부분수열을 가질 수 있는가?

주요 결과

• $ p \in (1,\infty) $ 에 대해 $ \|G_n - \lambda\|_p \to 0 $ 이고 $ \zeta(s) \not= 0 $ 이며 $ \Re(s) \geq 1/p $ 이면, 직접적인 $ L_p $-노름 동치성을 확립한다.
• $ G_n \to \lambda $ 는 $ L_1 $ 과 점별 수렴을 보이지만, $ \|G_n - \lambda\|_2 \to \infty $ 이므로 $ G_n $ 은 $ L_2 $ 에서 발산한다. 이는 자연스러운 산술 근사값임에도 불구하고 발생한다.
• 모든 고전적 근사값인 $ S_n $, $ B_n $, $ F_n $ 는 $ (0,1/n) $ 에서 유계가 아닌 $ L_2 $-노름을 지녀 $ L_2 $ 에서 발산한다.
• $ M_1(\theta) $ 의 $ L_p $-노름이 유한한 것은 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ 와 동치이며, 이는 근사 성질에 대한 수론적 특성화를 제공한다.
• $ \zeta(s) $ 가 $ \Re(s) = 1/p $ 에 영을 가질 경우, $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 내의 어떤 급수도 $ -\chi $ 로 $ L_p $ 에 수렴할 수 없으며, 특히 $ L_2 $ 에서는 수렴 불가이다.
• 계수 수렴 보조정리에 의해, $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 내의 $ L_p $-수렴 수열은 계수 $ c_k \to \mu(k) $ 를 가져야 하며, 이는 반드시 발산하는 $ V_n $ 이어야 한다.