[논문 리뷰] Arithmetics in number systems with negative base

Zuzana Masáková, Edita Pelantová외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 음수 기수 $-\beta$를 가진 수 체계의 산술 성질을 조사하며, ${\rm Fin}(-\beta)$의 유한 $(-\beta)$-전개 집합이 $\beta$가 음이 아닌 공액수를 가지는 파이조트 또는 세일름 수일 때에만 링을 이룬다는 것을 증명한다. 이토와 사다히로의 추측을 확인하며, 양의 공액수를 가진 이차 파이조트 수일 경우 ${\rm Fin}(-\beta)$가 링임을 입증하고, $(-\beta)$-정수 간의 덧셈과 곱셈에서 발생할 수 있는 분수 자릿수의 최대 개수를 규명한다.

ABSTRACT

We study the numeration system with negative basis, introduced by Ito and Sadahiro. We focus on arithmetic operations in the set ${ m Fin}(-β)$ and $\Z_{-β}$ of numbers having finite resp. integer $(-β)$-expansions. We show that ${ m Fin}(-β)$ is trivial if $β$ is smaller than the golden ratio $\frac12(1+\sqrt5)$. For $β\geq\frac12(1+\sqrt5)$ we prove that ${ m Fin}(-β)$ is a ring, only if $β$ is a Pisot or Salem number with no negative conjugates. We prove the conjecture of Ito and Sadahiro that ${ m Fin}(-β)$ is a ring if $β$ is a quadratic Pisot number with positive conjugate. For quadratic Pisot units we determine the number of fractional digits that may appear when adding or multiplying two $(-β)$-integers.

연구 동기 및 목표

• 산술 연산 하에서 유한 $(-\beta)$-전개를 가진 실수의 집합인 ${\rm Fin}(-\beta)$의 대수적 구조를 분석하는 것.
• ${\rm Fin}(-\beta)$가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있음, 즉 링을 이룰 조건을 규명하는 것.
• 이토와 사다히로의 추측을 검증하는 것: $\beta$가 양의 공액수를 가진 이차 파이조트 수일 경우 ${\rm Fin}(-\beta)$가 링임을 입증하는 것.
• 이차 파이조트 단위일 경우, $(-\beta)$-정수 간 덧셈과 곱셈의 결과로 나타날 수 있는 분수 자릿수의 최대 개수를 정량화하는 것.

제안 방법

• 레니의 $\beta$-전개 프레임워크를 활용하고, $\beta > 1$인 음수 기수 $-\beta$로 확장한다.
• 자리수 문자열의 사전순 정렬과 $d^{*}_{\beta}(1)$의 개념을 적용하여 음수 기수 체계에서의 허용 가능한 전개를 특성화한다.
• 공액수 분석과 대수적 정수, 특히 파이조트 수와 세일름 수의 성질을 활용하여 ${\rm Fin}(-\beta)$의 산술에 대한 닫힘성을 평가한다.
• 제7정리를 적용하여, $(-\beta)$-정수 $z$의 공액수 값 $z'$의 크기를 분석함으로써 합과 곱에서 분수 자릿수의 개수를 근사한다.
• $\mathbb{Z}_{-\beta}$ 내의 $z$에 대해 이차 단위의 항등식 $\beta^2 = m\beta + n$을 활용하여 $H = \sup |z'|$ 및 $K = \inf |z'|$의 bound를 유도한다.
• $\beta' = -\beta^{-1}$의 관계를 활용하여 덧셈과 곱셈에서 분수 자릿수의 최대 개수를 나타내는 $L_{\oplus}, L_{\otimes}$에 대한 $\beta^{L_{\oplus}}$ 및 $\beta^{L_{\otimes}}$의 bound를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 ${\rm Fin}(-\beta)$가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있거나, 즉 링을 이루는가?
• RQ2 이토와 사다히로의 추측이 참인가? 즉, $\beta$가 양의 공액수를 가진 이차 파이조트 수일 경우 ${\rm Fin}(-\beta)$가 링인가?
• RQ3 두 $(-\beta)$-정수의 합 또는 곱의 $(-\beta)$-전개에서 나타날 수 있는 분수 자릿수의 최대 개수는 얼마인가?
• RQ4 $\beta$의 대수적 성질, 특히 파이조트 또는 세일름 수일 경우 ${\rm Fin}(-\beta)$의 산술 닫힘성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 만약 $\beta < \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$이면, ${\rm Fin}(-\beta)$는 자명하며, 유한한 원소만을 포함한다.
• 만약 $\beta \geq \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$이면, ${\rm Fin}(-\beta)$는 $\beta$가 음이 아닌 공액수를 가지는 파이조트 또는 세일름 수일 때에만 링을 이룬다.
• 이토와 사다히로의 추측은 확인되었다: $\beta$가 양의 공액수를 가진 이차 파이조트 수일 경우 ${\rm Fin}(-\beta)$는 링이다.
• 이차 파이조트 단위이며 $\beta^2 = m\beta + 1$을 만족하는 경우, 덧셈과 곱셈에서 분수 자릿수의 최대 개수는 정확히 한 개이다: $L_{\oplus}(-\beta) = 1$ 및 $L_{\otimes}(-\beta) = 1$.
• 황금비 $\beta = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$의 경우 실제 값은 $L_{\oplus}(-\beta) = 2$ 및 $L_{\otimes}(-\beta) = 2$이며, 제7정리는 최대값 3만을 제공한다.
• 만약 $\beta^2 = m\beta + n$이며 $m \geq n \geq 1$이면 공액수 $\beta'$는 음수이므로 ${\rm Fin}(-\beta)$는 링이 아니지만, 합과 곱에서 분수 자릿수의 개수는 여전히 bound될 수 있다.