[논문 리뷰] Around the Mordell-Lang and Manin-Mumford conjectures in positive characteristic

Cyrille Corpet|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서, 형식적 멱급수체 위의 준아벨 다양체에 대해, 만인-무프드 추측이 모델-랭 추측을 함의한다는 것을 증명한다. 이는 이산 평가환수 위의 정수 모형과 제트 스킴을 사용하여, 이동 후 토션 점들이 부분다양체에서 자리지-조밀하지 않다면, 유한 생성 부분군의 p와 서로소 부분과의 교차는 조밀하지 않다—즉, 이 설정에서 모델-랭 추측을 만인-무프드 추측으로부터 유도한다.

ABSTRACT

We give a complete proof for the implication from the Manin-Mumford conjecture to the Mordell-Lang conjecture in positive characteristic, using integral models of semi-abelian varieties over a ring of formal power series, and the machinery of jet schemes.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 형식적 멱급수체 위의 준아벨 다양체에 대해, 만인-무프드 추측이 모델-랭 추측을 함의함을 확립하는 것.
• 이전 증명에서 사용된 모델 이론적 기법을 피하면서도 순수 대수기하학적 증명을 제공함으로써 모델-랭 추측을 증명하는 것.
• 로셀러의 이전 결과를 확장하여 기저 체와 부분군의 구조에 대한 제약 조건을 제거하는 것.
• 형식적 멱급수환 위의 준아벨 다양체의 정수 모형과 제트 스킴을 사용하여, 토션점과 나누어지는 점들의 조밀도를 분석하는 것.

제안 방법

• 유한 잔여체를 가진 완비 이산 평가환수 위에서 준아벨 다양체의 정수 모형을 구성하는 것.
• 제트 스킴과 임계점 이론을 적용하여 형식적 이웃에서 토션점과 나누어지는 점들의 행동을 분석하는 것.
• 보조정리 1.2의 $\zeta$-함수를 사용하여 $p$의 거듭제곱 모듈로에서의 점의 올림을 제트 공간 구성과 연결하는 것.
• 제트 스킴에서 $p^\alpha$-토션 점으로 올라가는 $\mathcal{X}^{+Q}$의 점들의 집합으로서 $\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$를 정의하는 것.
• 이동 후 토션 점들이 조밀하지 않다는 가정 하에, 예외 집합이 고유 부분스킴임을 증명하는 것.
• $\widetilde{\mathcal{A}}(\widetilde{S})$의 $R$-위상에서의 컴actness를 사용하여, 모든 $Q \in \Gamma$에 대해 예외 집합에 대한 균일한 상한 $\alpha$를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식적 멱급수체 위의 준아벨 다양체에 대해, 양의 특성에서 만인-무프드 추측이 모델-랭 추측을 함의하는가?
• RQ2 모델-랭 추측은 모델 이론적 기법을 피하면서도 순수 대수기하학적 도구로 증명될 수 있는가?
• RQ3 모든 $Q$에 대해 $\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$가 고유 부분스킴이 되는 균일한 상한 $\alpha$가 존재하는가?
• RQ4 제트 스킴과 정수 모형의 특수 피브리케이션의 구조를 통해 $X \cap \Gamma'$의 조밀도를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 양의 특성에서, 모델-랭 추측은 형식적 멱급수체로의 환원을 통해 만인-무프드 추측으로부터 유도된다.
• 증명은 모든 $Q \in \Gamma$에 대해 $\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q}) \subsetneq {\mathcal{X}}^{+Q}$임을 보장하는 균일한 상한 $\alpha$를 구성한다. 이는 예외 집합이 고유 부분스킴임을 보장한다.
• 주어진 가정 하에, 어떤 체 확장 $L'/L$과 모든 $Q \in A(L')$에 대해 $X^{+Q} \cap \operatorname{Tor}(A(L'))$가 조밀하지 않다면, $X \cap \Gamma'$는 $X$에서 자리지-조밀하지 않다.
• 증명은 모델 이론을 피하고, $\overline{\mathbb{F}}_q((t))$ 위의 정수 모형과 제트 스킴을 사용한 순수 대수기하학적 추론을 제공한다.
• 유한 생성 부분군 $\Gamma'$의 $\Gamma' / p^\alpha \Gamma'$에 대한 대표원 $Q_1, \dots, Q_k$가 존재하여, $X \cap \zeta(\Gamma')$가 유한 개의 고유 부분스킴의 이동으로 덮을 수 있다.
• 특히, $X \cap \Gamma'$의 자리지 폐포의 차원은 $\dim X$보다 엄격히 작다. 이는 유한 개의 고유 부분스킴의 합집합에 포함되기 때문이다.